Mediante inducción matemática demostrar la validez de An€N de (1/1+√(2))+(1/√(2)+√(3))+(1/√(3)+2)+...+(1/√(n)+√(n+1))=(√(n+1)-1)

Para demostrar la validez de la siguiente igualdad mediante inducción matemática:

\[
\sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} \right) = \sqrt{n+1} - 1
\]

### Paso 1: Base de la inducción
Para \( n = 1 \), la suma en el lado izquierdo es:

\[
\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} = \frac{1}{1 + \sqrt{2}}
\]

Vamos a verificar si coincide con el lado derecho:

\[
\sqrt{1+1} - 1 = \sqrt{2} - 1
\]

Ahora comprobamos si los dos lados son iguales:

\[
\frac{1}{1 + \sqrt{2}} \times \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})} = \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - 2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1}
\]

Por lo tanto:

\[
\frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1
\]

Entonces, ambos lados coinciden para \( n = 1 \), lo cual demuestra que la base de la inducción es verdadera.

### Paso 2: Hipótesis de inducción
Supongamos que la fórmula es verdadera para algún \( n = k \), es decir, supongamos que:

\[
\sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} \right) = \sqrt{k+1} - 1
\]

### Paso 3: Paso inductivo
Queremos probar que la fórmula también es verdadera para \( n = k + 1 \). Es decir, necesitamos verificar que:

\[
\sum_{k=1}^{k+1} \left( \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} \right) = \sqrt{(k+1) + 1} - 1 = \sqrt{k+2} - 1
\]

Usamos la hipótesis de inducción, que nos dice que:

\[
\sum_{k=1}^k \left( \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} \right) = \sqrt{k+1} - 1
\]

Entonces, el lado izquierdo para \( n = k+1 \) se convierte en:

\[
\left( \sum_{k=1}^k \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} \right) + \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k+2}} = \sqrt{k+1} - 1 + \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k+2}}
\]

Queremos verificar si este lado es igual a \( \sqrt{k+2} - 1 \).

Sumamos los términos:

\[
\sqrt{k+1} - 1 + \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k+2}}
\]

Simplifiquemos el segundo término:

\[
\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k+2}} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}}{(\sqrt{k+2})^2 - (\sqrt{k+1})^2} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}}{k+2 - (k+1)} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}}{1} = \sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}
\]

Por lo tanto, el lado izquierdo se convierte en:

\[
\sqrt{k+1} - 1 + (\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}) = \sqrt{k+2} - 1
\]

Lo cual coincide con el lado derecho de la igualdad que queríamos demostrar.

### Conclusión
Por el principio de inducción matemática, la fórmula es válida para todo \( n \in \mathbb{N} \).

¿Te gustaría algún detalle adicional o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se puede aplicar la inducción matemática en otros problemas de sumas?
2. ¿Cómo se deduce la factorización de diferencias de raíces cuadradas?
3. ¿Qué otras técnicas de inducción matemática existen?
4. ¿Cómo se relaciona la inducción matemática con las series telescópicas?
5. ¿Cómo se podría abordar este problema sin inducción matemática?

### Tip:
Siempre que estés trabajando con sumas telescópicas, busca términos que se cancelen para simplificar la expresión.

Descubre cómo demostrar mediante inducción matemática la suma de una serie telescópica con raíces cuadradas, desde (1/√2) hasta (1/√(n)+√(n+1)), y cómo se llega al resultado √(n+1) - 1. Ideal para estudiantes de nivel secundaria superior o universitario.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation