utiliza inducción matemática para verificar que la ecuación es verdadera para cada entero positivo. Estoy iniciando el estudio de estos temas: 1^2+2^2+3^2+...+n^2=[n(n+1)(2n+1)]/6

Para verificar que la ecuación 

\[
1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

es verdadera para cada entero positivo \( n \), utilizamos **inducción matemática**. Este método consta de dos pasos fundamentales: la base de inducción y el paso inductivo.

### Paso 1: Base de inducción (verificar para \( n = 1 \))

Para \( n = 1 \), evaluamos ambos lados de la ecuación.

Lado izquierdo:

\[
1^2 = 1
\]

Lado derecho:

\[
\frac{1(1+1)(2 \cdot 1 + 1)}{6} = \frac{1(2)(3)}{6} = \frac{6}{6} = 1
\]

Como \( 1 = 1 \), la ecuación es verdadera para \( n = 1 \).

### Paso 2: Paso inductivo

Supongamos que la ecuación es cierta para \( n = k \), es decir, asumimos la **hipótesis de inducción**:

\[
1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}
\]

Queremos demostrar que la ecuación es también cierta para \( n = k+1 \), es decir, probar que:

\[
1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}
\]

**Comenzamos agregando \( (k+1)^2 \) al lado izquierdo** de la hipótesis de inducción:

\[
1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2
\]

Ahora sumamos \( (k+1)^2 \) al lado derecho:

\[
= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \frac{6(k+1)^2}{6}
\]

Podemos factorizar \( (k+1) \) en ambos términos:

\[
= \frac{(k+1)}{6} \left[k(2k+1) + 6(k+1)\right]
\]

Simplificamos el término dentro del paréntesis:

\[
= \frac{(k+1)}{6} \left[2k^2 + k + 6k + 6\right]
= \frac{(k+1)}{6} \left[2k^2 + 7k + 6\right]
\]

Factoreamos el trinomio \( 2k^2 + 7k + 6 \):

\[
= \frac{(k+1)}{6} \left[(k+2)(2k+3)\right]
\]

Finalmente, reescribimos la expresión completa:

\[
= \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}
\]

Esto es precisamente lo que queríamos demostrar. Por lo tanto, la ecuación es verdadera para \( n = k+1 \).

### Conclusión

Hemos demostrado mediante inducción matemática que la ecuación 

\[
1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

es verdadera para todo \( n \in \mathbb{Z}^+ \) (enteros positivos).

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¿Te gustaría más detalles sobre algún paso? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se relaciona la inducción matemática con la recursión?
2. ¿Podrías aplicar este método de inducción para sumas cúbicas?
3. ¿Qué otras formas de demostración se pueden usar para sumas de cuadrados?
4. ¿Por qué la factorización de \( 2k^2 + 7k + 6 \) es clave en el paso inductivo?
5. ¿Cómo se puede visualizar geométricamente la suma de cuadrados?

**Tip:** Practicar la inducción matemática con diferentes fórmulas es excelente para dominar este método.

Descubre cómo utilizar la inducción matemática para verificar la fórmula de la suma de cuadrados 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6. Esta solución paso a paso es ideal para estudiantes de secundaria, explorando conceptos clave como factorización y el principio de inducción matemática.

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