Para numerar la primera cuarta parte de las paginas de un libro se emplearon 342 cifras ¿ cuantas cifras se emplearon para enumerar todo el libro ?

Para resolver el problema de determinar cuántas cifras se emplearon para numerar todas las páginas de un libro, primero debemos entender cómo se distribuyen las cifras en las páginas.

Dado que la primera cuarta parte de las páginas se numeró con 342 cifras, esto significa que \( \frac{1}{4} \) de las páginas totales \( N \) del libro se numeró con 342 cifras.

Primero, identifiquemos las cifras utilizadas en la primera cuarta parte del libro:

1. **Páginas del 1 al 9:**
   - Estas son 9 páginas, y cada página utiliza 1 cifra.
   - Total de cifras: \( 9 \times 1 = 9 \)

2. **Páginas del 10 al 99:**
   - Estas son \( 99 - 10 + 1 = 90 \) páginas, y cada página utiliza 2 cifras.
   - Total de cifras: \( 90 \times 2 = 180 \)

3. **Páginas del 100 en adelante:**
   - Digamos que hay \( x \) páginas en esta sección. Entonces, cada página utiliza 3 cifras.
   - Total de cifras: \( x \times 3 \)

La suma de las cifras debe ser 342:

\[ 9 + 180 + 3x = 342 \]

Resolvemos para \( x \):

\[ 189 + 3x = 342 \]

\[ 3x = 153 \]

\[ x = 51 \]

Entonces, la primera cuarta parte del libro tiene:

\[ 9 + 90 + 51 = 150 \]

Así, el total de páginas del libro es \( 150 \times 4 = 600 \).

Ahora, calculamos cuántas cifras se utilizan para numerar todas las páginas del libro.

1. **Páginas del 1 al 9:**
   - Total de cifras: \( 9 \times 1 = 9 \)

2. **Páginas del 10 al 99:**
   - Total de cifras: \( 90 \times 2 = 180 \)

3. **Páginas del 100 al 599:**
   - Estas son \( 600 - 100 = 500 \) páginas.
   - Total de cifras: \( 500 \times 3 = 1500 \)

4. **Página 600:**
   - Total de cifras: \( 1 \times 3 = 3 \)

Sumamos todas las cifras:

\[ 9 + 180 + 1500 + 3 = 1692 \]

Por lo tanto, se emplearon 1692 cifras para enumerar todas las páginas del libro.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí hay algunas preguntas adicionales que podrías tener:
1. ¿Cómo se determina la cantidad de cifras en números de varios dígitos?
2. ¿Cómo se resuelven ecuaciones lineales con una variable?
3. ¿Cómo se trabaja con problemas de números y cifras en combinatoria?
4. ¿Cómo se realizan cálculos de sumas de series aritméticas?
5. ¿Qué métodos existen para verificar los resultados de problemas de conteo?

**Tip:** Cuando enfrentas problemas de conteo de cifras, es útil dividir el problema en partes más pequeñas y calcular cada parte por separado antes de sumar los resultados.

Discover how many digits were used to number all pages of a book, starting with the first quarter numbered using 342 digits. This problem involves arithmetic concepts such as counting digits and summation of series. Suitable for students in Grades 6-8.

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