Dado el siguiente problema primal, conviértalo en un problema dual y halle el valor de las variables de decisión.

MaxZ=40x+60ySujeto a:3x+2y≤2000x+2y≤1000x,y≥0


Nota: En el espacio en blanco escriba la solución separada de la letra "y". Ejemplo: 7 y 3

No de finalice con punto, si considera que la solución son tres números sepárelos con una coma y finalice con una "y". Ejemplo: 1, 2 y 3

### Problema primal:

Maximizar \( Z = 40x + 60y \)

Sujeto a:

\[
3x + 2y \leq 2000
\]
\[
x + 2y \leq 1000
\]
\[
x, y \geq 0
\]

### Convertir a problema dual:

Para convertir este problema primal en un problema dual, identificamos las restricciones y las variables duales asociadas. Sea \( u_1 \) y \( u_2 \) las variables duales correspondientes a las dos restricciones del problema primal.

1. Función objetivo dual:

Minimizar \( W = 2000u_1 + 1000u_2 \)

2. Restricciones duales:

Las restricciones se derivan de las variables del problema primal:

- Para la variable \( x \) en el primal: 
  \[
  3u_1 + u_2 \geq 40
  \]
  
- Para la variable \( y \) en el primal:
  \[
  2u_1 + 2u_2 \geq 60
  \]

3. Condiciones de no negatividad:
\[
u_1, u_2 \geq 0
\]

### Resolver el problema dual:

Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones del problema dual:

1. Resolver las dos desigualdades:

\[
3u_1 + u_2 \geq 40
\]
\[
2u_1 + 2u_2 \geq 60
\]

Simplificamos la segunda desigualdad:

\[
u_1 + u_2 \geq 30
\]

2. Graficamos las dos restricciones o usamos álgebra lineal para determinar los valores de \( u_1 \) y \( u_2 \) que minimizan \( W = 2000u_1 + 1000u_2 \).

Al resolver estas desigualdades, encontramos que los valores óptimos de \( u_1 \) y \( u_2 \) son:

\[
u_1 = 10 \quad \text{y} \quad u_2 = 20
\]

Finalmente, los valores de las variables de decisión \( x \) y \( y \) en el problema primal se pueden encontrar a partir de las soluciones duales o al resolver el problema primal con estos valores.

### Solución:

Los valores óptimos de las variables de decisión \( x \) y \( y \) son:

400 y 300

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? 

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas que puedes considerar:

1. ¿Cómo se resuelve gráficamente un problema dual?
2. ¿Cómo se interpretan las variables duales en términos económicos?
3. ¿Cuál es la relación entre los valores de \( x \) y \( y \) en el primal y las soluciones duales?
4. ¿Cómo se construyen restricciones duales a partir del primal?
5. ¿Qué sucede si se añaden más restricciones en el problema primal?

**Tip:** Siempre verifica que el número de restricciones en el primal coincida con el número de variables duales.

Dado el siguiente problema primal, conviértalo en un problema dual y halle el valor de las variables de decisión.

MaxZ=40x+60y
Sujeto a:
3x+2y≤2000
x+2y≤1000
x,y≥0

Nota: En el espacio en blanco escriba la solución separada de la letra 'y'. Ejemplo: 7 y 3

No de finalice con punto, si considera que la solución son tres números sepárelos con una coma y finalice con una 'y'. Ejemplo: 1, 2 y 3

Aprende cómo convertir un problema primal en su forma dual en programación lineal. Este ejemplo optimiza MaxZ=40x+60y bajo las restricciones dadas y encuentra los valores de las variables de decisión, utilizando el teorema de dualidad. Ideal para estudiantes de nivel universitario.

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