Escribir la expresión trigonométrica como una expresión algebraica en u y v.
Debemos suponer que las variables u y v  representan números reales positivos.

cos(cos-1 u - sin-1 v)

Para escribir la expresión trigonométrica \( \cos(\cos^{-1} u - \sin^{-1} v) \) como una expresión algebraica en términos de \( u \) y \( v \), podemos proceder de la siguiente manera:

### Paso 1: Definir las funciones trigonométricas
- Supongamos que \( \cos^{-1} u = \theta \), entonces \( \cos \theta = u \).
- Supongamos que \( \sin^{-1} v = \phi \), entonces \( \sin \phi = v \).

### Paso 2: Escribir la expresión original en términos de \( \theta \) y \( \phi \)
La expresión original es:
\[
\cos(\cos^{-1} u - \sin^{-1} v) = \cos(\theta - \phi)
\]
Donde sabemos que:
\[
\cos(\theta - \phi) = \cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi
\]

### Paso 3: Sustituir las identidades
Ahora, sustituimos \( \cos \theta = u \) y \( \sin \phi = v \):
\[
\cos(\theta - \phi) = u \cos \phi + \sin \theta v
\]

### Paso 4: Encontrar \( \cos \phi \) y \( \sin \theta \)
Usando las identidades pitagóricas:
\[
\cos \phi = \sqrt{1 - \sin^2 \phi} = \sqrt{1 - v^2}
\]
\[
\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - u^2}
\]

### Paso 5: Sustituir las identidades en la expresión
Sustituyendo estas identidades en la ecuación de \( \cos(\theta - \phi) \):
\[
\cos(\cos^{-1} u - \sin^{-1} v) = u \sqrt{1 - v^2} + v \sqrt{1 - u^2}
\]

### Resultado final
La expresión trigonométrica original \( \cos(\cos^{-1} u - \sin^{-1} v) \) se puede escribir como la expresión algebraica:
\[
\cos(\cos^{-1} u - \sin^{-1} v) = u \sqrt{1 - v^2} + v \sqrt{1 - u^2}
\]

¿Necesitas más detalles o alguna explicación adicional?

---

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se obtiene el valor de \( \cos^{-1}(x) \) y \( \sin^{-1}(x) \) para valores específicos de \( x \)?
2. ¿Cuál es la importancia de las identidades pitagóricas en la trigonometría?
3. ¿Cómo se derivan las fórmulas de ángulos compuestos como \( \cos(\theta - \phi) \)?
4. ¿Qué otras expresiones trigonométricas pueden ser convertidas a expresiones algebraicas?
5. ¿Cómo afectan las restricciones sobre \( u \) y \( v \) (es decir, números reales positivos) al resultado?

### Tip:
Cuando trabajes con funciones trigonométricas inversas, siempre asegúrate de considerar los dominios y las restricciones para obtener resultados válidos en el contexto del problema.

Learn how to convert the trigonometric expression \( \cos(\cos^{-1} u - \sin^{-1} v) \) into an algebraic expression using inverse trigonometric functions and identities. This detailed solution covers the steps involving trigonometric identities and substitutions. Suitable for advanced high school students and anyone interested in trigonometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation