x²+3x-4 von normalform in die Scheitelpunktform

Um die Normalform der quadratischen Funktion \( x^2 + 3x - 4 \) in die Scheitelpunktform umzuformen, verwenden wir die Methode der quadratischen Ergänzung. Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet:

\[
f(x) = a(x-h)^2 + k
\]

wobei \((h, k)\) die Koordinaten des Scheitelpunkts sind. Hier sind die Schritte zur Umformung:

1. **Identifizieren der Normalform:** Die gegebene quadratische Funktion ist:

   \[
   f(x) = x^2 + 3x - 4
   \]

2. **Quadratische Ergänzung durchführen:** Um den Ausdruck in die Form \( (x-h)^2 + k \) zu bringen, konzentrieren wir uns auf den quadratischen und den linearen Term (\(x^2 + 3x\)).

   \[
   x^2 + 3x \quad \text{(wir fügen und subtrahieren einen Term hinzu, um eine vollständige quadratische Form zu bilden)}
   \]

   Zuerst nehmen wir die Hälfte des Koeffizienten von \(x\), das ist \(\frac{3}{2}\), und quadrieren ihn:

   \[
   \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}
   \]

   Jetzt ergänzen und subtrahieren wir \(\frac{9}{4}\):

   \[
   x^2 + 3x = \left(x^2 + 3x + \frac{9}{4}\right) - \frac{9}{4}
   \]

3. **Vervollständigen des Quadrats:** Der Ausdruck innerhalb der Klammern ist jetzt ein perfektes Quadrat:

   \[
   \left(x + \frac{3}{2}\right)^2
   \]

   Also können wir den Ausdruck umschreiben:

   \[
   f(x) = \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} - 4
   \]

4. **Konstante zusammenfassen:** Jetzt fassen wir die konstanten Terme zusammen:

   \[
   f(x) = \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} - \frac{16}{4}
   \]

   \[
   f(x) = \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{25}{4}
   \]

Damit haben wir die Scheitelpunktform:

\[
f(x) = \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{25}{4}
\]

Der Scheitelpunkt der Parabel ist \(\left(-\frac{3}{2}, -\frac{25}{4}\right)\).

Möchten Sie mehr Details zu diesem Prozess oder haben Sie weitere Fragen? Hier sind einige verwandte Fragen:

1. Wie finde ich den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion, ohne die Scheitelpunktform zu verwenden?
2. Wie wirkt sich der Koeffizient vor \(x^2\) auf die Form und Richtung einer Parabel aus?
3. Was ist die allgemeine Methode der quadratischen Ergänzung?
4. Wie kann man die Nullstellen einer quadratischen Funktion finden?
5. Was ist der Unterschied zwischen der Normalform und der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion?

**Tipp:** Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion erleichtert es, den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse direkt abzulesen!

Learn how to convert the quadratic function x² + 3x - 4 from normal form to vertex form using the method of completing the square. This detailed step-by-step guide includes identifying the vertex form, performing quadratic completion, and understanding the transformation process. Suitable for high school students.

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