Para construir o gráfico da função $ f(x) = 2(x-3)^2 + 2 $, podemos seguir os seguintes passos:

1. **Identificação da forma da função**: A função está na forma de uma parábola $ f(x) = a(x-h)^2 + k $, onde $ a = 2 $, $ h = 3 $ e $ k = 2 $.

2. **Determinação do vértice**: O vértice da parábola é dado por $ (h, k) $. Portanto, o vértice da função é $ (3, 2) $.

3. **Concavidade da parábola**: Como $ a = 2 $ é positivo, a parábola se abre para cima.

4. **Pontos adicionais**: Para uma melhor representação, podemos calcular alguns pontos adicionais ao redor do vértice. Por exemplo, podemos calcular $ f(2) $, $ f(4) $, $ f(0) $ e $ f(6) $.

   - $ f(2) = 2(2-3)^2 + 2 = 2(1)^2 + 2 = 2 + 2 = 4 $
   - $ f(4) = 2(4-3)^2 + 2 = 2(1)^2 + 2 = 2 + 2 = 4 $
   - $ f(0) = 2(0-3)^2 + 2 = 2(9) + 2 = 18 + 2 = 20 $
   - $ f(6) = 2(6-3)^2 + 2 = 2(3)^2 + 2 = 18 + 2 = 20 $

5. **Desenho do gráfico**:
   - Plotar o vértice $ (3, 2) $.
   - Plotar os pontos adicionais $ (2, 4) $, $ (4, 4) $, $ (0, 20) $ e $ (6, 20) $.
   - Conectar esses pontos suavemente para formar a parábola.

Aqui está o gráfico da função $ f(x) = 2(x-3)^2 + 2 $:

```python
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Definir a função
def f(x):
    return 2 * (x - 3)**2 + 2

# Gerar valores de x
x = np.linspace(-2, 8, 400)
y = f(x)

# Criar o gráfico
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label='$f(x) = 2(x-3)^2 + 2$')
plt.scatter([3], [2], color='red')  # Vértice
plt.scatter([2, 4], [4, 4], color='blue')  # Pontos adicionais
plt.scatter([0, 6], [20, 20], color='green')  # Pontos adicionais

# Adicionar anotações
plt.annotate('Vértice (3, 2)', xy=(3, 2), xytext=(4, 10),
             arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.05))
plt.annotate('(2, 4)', xy=(2, 4), xytext=(1, 10),
             arrowprops=dict(facecolor='blue', shrink=0.05))
plt.annotate('(4, 4)', xy=(4, 4), xytext=(5, 10),
             arrowprops=dict(facecolor='blue', shrink=0.05))
plt.annotate('(0, 20)', xy=(0, 20), xytext=(-2, 25),
             arrowprops=dict(facecolor='green', shrink=0.05))
plt.annotate('(6, 20)', xy=(6, 20), xytext=(7, 25),
             arrowprops=dict(facecolor='green', shrink=0.05))

# Configurações do gráfico
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.title('$f(x) = 2(x-3)^2 + 2$')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
plt.show()
```

Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida, estou à disposição!

**Perguntas Relacionadas:**

1. Como determinamos o vértice de uma parábola?
2. O que significa o valor de $ a $ na forma da parábola $ a(x-h)^2 + k $?
3. Como a concavidade da parábola é determinada?
4. Qual é o impacto dos valores de $ h $ e $ k $ na forma da parábola?
5. Como encontrar os pontos de interseção da parábola com o eixo $ x $?
6. O que representa a forma $ y = ax^2 + bx + c $?
7. Como calcular a distância entre dois pontos em um gráfico?
8. Qual é a diferença entre funções quadráticas e cúbicas?

**Dica**: Ao desenhar gráficos, sempre marque e rotule pontos importantes, como o vértice e as interseções, para facilitar a interpretação.

Aprenda como construir o gráfico da função quadrática f(x) = 2(x-3)^2 + 2 passo a passo. Este problema aborda conceitos matemáticos essenciais, incluindo a forma do vértice de uma parábola, gráficos de funções quadráticas e propriedades de funções quadráticas. Adequado para estudantes do ensino médio.

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