Có 7 bộ quần áo có kích thước khác nhau. Chủ cửa hàng xếp ngẫu nhiên quần này với áo khác. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để cho:

1) Chỉ có 4 bộ quần áo là đúng kích thước với nhau?

2) Tất cả 7 bộ quần áo đều sai kích thước?

3) Ít nhất có 3 bộ có cùng kích thước.

Để giải quyết bài toán về số cách xếp quần áo với các yêu cầu khác nhau, chúng ta cần sử dụng nguyên lý đếm, kết hợp với các khái niệm như tổ hợp và hoán vị.

### 1) Số cách xếp sao cho chỉ có 4 bộ quần áo đúng kích thước với nhau?

- Đầu tiên, chọn 4 bộ quần áo đúng kích thước từ 7 bộ. Số cách chọn 4 bộ này là:

\[
\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = 35
\]

- Tiếp theo, với 3 bộ quần áo còn lại, yêu cầu là phải sắp xếp sao cho sai kích thước. Đây chính là số cách hoán vị 3 bộ quần áo sao cho không có bộ nào đúng kích thước, còn gọi là **derangement** (hoán vị sai hoàn toàn). Ký hiệu là \(D_3\), và ta có:

\[
D_3 = 2
\]

- Vậy tổng số cách sắp xếp để chỉ có 4 bộ đúng kích thước là:

\[
35 \times 2 = 70
\]

### 2) Số cách xếp sao cho tất cả 7 bộ quần áo đều sai kích thước?

Đây là bài toán về hoán vị sai hoàn toàn (derangement) của 7 phần tử. Công thức tính derangement là:

\[
D_n = n! \times \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!}\right)
\]

Áp dụng cho \(n = 7\):

\[
D_7 = 7! \times \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^7}{7!}\right)
\]

Tính cụ thể:

\[
D_7 = 5040 \times \left(1 - 1 + 0.5 - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} + \frac{1}{720}\right)
\]

\[
D_7 = 5040 \times (0.368055)
\]

\[
D_7 \approx 1854
\]

Vậy có 1,854 cách xếp để tất cả 7 bộ đều sai kích thước.

### 3) Số cách xếp sao cho ít nhất có 3 bộ quần áo đúng kích thước?

Ta dùng phương pháp **bổ sung**. Tổng số cách sắp xếp tất cả 7 bộ quần áo là:

\[
7! = 5040
\]

Số cách xếp sao cho không có bộ nào đúng kích thước đã tính ở trên là \(D_7 = 1854\).

Số cách xếp sao cho **ít nhất có 3 bộ đúng kích thước** là:

\[
5040 - D_7 = 5040 - 1854 = 3186
\]

### Tổng kết:

1) Có 70 cách xếp để chỉ có 4 bộ quần áo đúng kích thước với nhau.
2) Có 1,854 cách xếp để tất cả 7 bộ quần áo đều sai kích thước.
3) Có 3,186 cách xếp để ít nhất có 3 bộ đúng kích thước.

---

Bạn có cần thêm chi tiết hay giải thích nào không? Dưới đây là 5 câu hỏi liên quan để mở rộng vấn đề:

1. Cách tính derangement cho \(n = 5\) là gì?
2. Nếu chỉ có 2 bộ đúng kích thước, có bao nhiêu cách sắp xếp?
3. Tổng số cách sắp xếp khi có đúng 5 bộ quần áo sai kích thước là bao nhiêu?
4. Điều gì xảy ra nếu số lượng bộ quần áo tăng lên thành 10 bộ?
5. Làm thế nào để tính số cách sắp xếp khi ít nhất có 4 bộ đúng kích thước?

**Mẹo**: Trong các bài toán hoán vị liên quan đến điều kiện sai hoàn toàn, đừng quên sử dụng công thức derangement để tính nhanh các kết quả.

Có 7 bộ quần áo có kích thước khác nhau. Chủ cửa hàng xếp ngẫu nhiên quần này với áo khác. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để cho: 1) Chỉ có 4 bộ quần áo là đúng kích thước với nhau? 2) Tất cả 7 bộ quần áo đều sai kích thước? 3) Ít nhất có 3 bộ có cùng kích thước.

Solve a combinatorics problem involving 7 mismatched outfits and derangements. Learn how to calculate the number of ways to match clothes where only 4 sets are correctly paired, where all are mismatched, and where at least 3 are correctly paired. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation