¿A qué hora inmediatamente después de las 3 de la mañana, el minutero adelanta al horario como el horario adelanta a las 12?

Esta es una interesante cuestión relacionada con la geometría de un reloj analógico. La clave está en encontrar el momento en que el minutero adelanta al horario por el mismo ángulo que el horario adelanta a las 12.

### Desglosemos el problema paso a paso:

1. **Posición inicial a las 3 en punto**:
   - A las 3:00, el horario está en el número 3, que corresponde a un ángulo de \(90^\circ\) desde las 12.
   - El minutero, a las 3 en punto, está exactamente en las 12 (es decir, a \(0^\circ\)).

2. **Objetivo**: Encontrar el momento en el que el minutero haya avanzado lo suficiente como para adelantar al horario por el mismo ángulo que el horario está adelantado con respecto a las 12.

3. **Ángulos en el reloj**:
   - El minutero se mueve a razón de \(6^\circ\) por minuto (360 grados en 60 minutos).
   - El horario se mueve a razón de \(0.5^\circ\) por minuto (30 grados en una hora, o sea 60 minutos).

4. **Condición**: Queremos que el ángulo entre el minutero y el horario sea igual al ángulo entre el horario y las 12, que era de \(90^\circ\) al inicio.

5. **Ecuación**:
   Llamemos \( t \) al tiempo transcurrido desde las 3 en punto. Después de \( t \) minutos, las posiciones angulares del minutero y del horario serán:
   - Posición angular del minutero: \( 6t \) grados.
   - Posición angular del horario: \( 90 + 0.5t \) grados.

   La diferencia entre estos dos ángulos debe ser de \( 90^\circ \) (la misma diferencia que entre las 12 y el horario a las 3:00):
   \[
   6t - (90 + 0.5t) = 90
   \]
   
6. **Resolviendo la ecuación**:
   \[
   6t - 90 - 0.5t = 90
   \]
   \[
   5.5t = 180
   \]
   \[
   t = \frac{180}{5.5} = 32.73 \text{ minutos}.
   \]

### Respuesta:
El minutero adelanta al horario en la misma proporción que el horario adelanta a las 12 exactamente **32.73 minutos** después de las 3:00. Es decir, esto ocurre aproximadamente a las **3:32:44 de la mañana**.

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¿Te gustaría más detalles sobre cómo se derivaron los ángulos o tienes alguna otra duda? 

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se puede encontrar la posición relativa entre el minutero y el horario a cualquier hora del día?
2. ¿Cómo cambian las velocidades angulares de las manecillas si el reloj no es convencional (p. ej., con más o menos horas)?
3. ¿Qué otro tipo de problemas geométricos se pueden resolver con las posiciones de las manecillas de un reloj?
4. ¿Qué ocurre si en lugar de las 3:00 AM, la pregunta es sobre una hora distinta?
5. ¿Cómo afecta el tipo de movimiento circular uniforme en la solución de este tipo de problemas?

**Tip**: El concepto de velocidad angular puede aplicarse en otros contextos, como el movimiento de los planetas o en sistemas de engranajes.

Discover how to calculate the exact time after 3:00 AM when the minute hand passes the hour hand by the same angle that the hour hand leads over 12:00. This problem involves concepts of uniform circular motion, geometry, and clock angles, and is suitable for Grades 10-12.

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