Una operación de maquinado produce cojinetes con diámetros que están normalmente distribuidos con media de 3,0005 pulgadas y desviación estándar de 0,0010 pulgadas. Las especificaciones requieren que los diámetros de los cojinetes se encuentren en el intervalo 3,000 ± 0,0020 pulgadas. Los cojinetes que estén fuera de este intervalo son considerados de desecho y deben volver a maquinarse. 
  
La especificación 3,000 ± 0,0020 significa que los cojinetes deben medir de 2,998 a 3,002 para que se consideren aceptables.
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Con el ajuste de la máquina existente, ¿qué proporción de la producción total se considerará aceptable?
(2 puntos)

Para resolver este problema, necesitamos calcular la proporción de la producción total de cojinetes que caen dentro del intervalo especificado (2.998 a 3.002 pulgadas) bajo una distribución normal con media \( \mu = 3.0005 \) pulgadas y desviación estándar \( \sigma = 0.0010 \) pulgadas.

### Paso 1: Determinar los límites estandarizados (Z-scores)

Primero, convertimos los límites del intervalo de diámetros a valores estandarizados (Z-scores) usando la fórmula:

\[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
\]

donde:
- \( X \) es el valor límite,
- \( \mu = 3.0005 \) es la media de la distribución,
- \( \sigma = 0.0010 \) es la desviación estándar.

#### Cálculo del Z-score para el límite inferior \( X = 2.998 \):

\[
Z_{\text{inferior}} = \frac{2.998 - 3.0005}{0.0010} = \frac{-0.0025}{0.0010} = -2.5
\]

#### Cálculo del Z-score para el límite superior \( X = 3.002 \):

\[
Z_{\text{superior}} = \frac{3.002 - 3.0005}{0.0010} = \frac{0.0015}{0.0010} = 1.5
\]

### Paso 2: Determinar la proporción de la producción aceptable

Ahora, encontramos la probabilidad de que un cojinete tenga un diámetro dentro del intervalo especificado, lo cual corresponde a la probabilidad de que el valor estandarizado \( Z \) esté entre \( -2.5 \) y \( 1.5 \).

Utilizando la tabla de la distribución normal estándar o una calculadora estadística:

- La probabilidad de \( Z \leq 1.5 \) es aproximadamente \( 0.9332 \).
- La probabilidad de \( Z \leq -2.5 \) es aproximadamente \( 0.0062 \).

Por lo tanto, la proporción de la producción que cae dentro del intervalo especificado es:

\[
P(-2.5 \leq Z \leq 1.5) = P(Z \leq 1.5) - P(Z \leq -2.5) = 0.9332 - 0.0062 = 0.9270
\]

### Resultado final

La proporción de la producción que se considerará aceptable es aproximadamente **0.9270** o **92.70%**.

---

¿Te gustaría más detalles sobre este proceso o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el cambio en la media del proceso al porcentaje de cojinetes aceptables?
2. ¿Qué proporción de cojinetes estaría fuera del rango especificado si la desviación estándar aumentara?
3. ¿Cómo se puede ajustar la media del proceso para maximizar la proporción de cojinetes aceptables?
4. ¿Qué cambios en la desviación estándar reducirían la proporción de desechos?
5. ¿Cuál es el impacto de cambiar las especificaciones (el intervalo de aceptación) en el porcentaje de producción aceptable?

### Tip:
Recuerda que en cualquier proceso de manufactura, reducir la desviación estándar (variabilidad) es clave para aumentar la proporción de productos dentro de las especificaciones.

Learn how to calculate the proportion of acceptable production within specified limits using normal distribution. This problem involves determining the proportion of machine-produced bearings that fall within a specified diameter range under given mean and standard deviation conditions.

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