La base de un prisma recto es un triángulo equilátero. Si el área lateral es 10500mm2 y la altura
del prisma es 0,5dm ¿Cuál es el volumen del prisma?

Para encontrar el volumen del prisma recto cuya base es un triángulo equilátero, debemos seguir los siguientes pasos:

### Paso 1: Convertir la altura del prisma a milímetros
Dado que la altura del prisma está en decímetros (dm), debemos convertirla a milímetros (mm) para que las unidades sean consistentes:

\[
\text{Altura} = 0.5 \, \text{dm} = 0.5 \times 100 \, \text{mm} = 50 \, \text{mm}
\]

### Paso 2: Determinar el perímetro de la base del prisma
El área lateral de un prisma recto se calcula como el producto del perímetro de la base y la altura del prisma:

\[
\text{Área lateral} = \text{Perímetro de la base} \times \text{Altura}
\]

Sabemos que el área lateral es \( 10500 \, \text{mm}^2 \) y la altura es \( 50 \, \text{mm} \). Entonces, podemos despejar el perímetro de la base:

\[
\text{Perímetro de la base} = \frac{\text{Área lateral}}{\text{Altura}} = \frac{10500 \, \text{mm}^2}{50 \, \text{mm}} = 210 \, \text{mm}
\]

### Paso 3: Calcular el lado del triángulo equilátero
El perímetro de un triángulo equilátero es tres veces la longitud de uno de sus lados \( a \):

\[
\text{Perímetro} = 3a
\]

Por lo tanto, el lado del triángulo equilátero \( a \) es:

\[
a = \frac{\text{Perímetro}}{3} = \frac{210 \, \text{mm}}{3} = 70 \, \text{mm}
\]

### Paso 4: Calcular el área de la base (triángulo equilátero)
El área \( A \) de un triángulo equilátero se calcula con la fórmula:

\[
A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2
\]

Sustituyendo el valor de \( a \):

\[
A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (70 \, \text{mm})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4900 \, \text{mm}^2 \approx 2122.08 \, \text{mm}^2
\]

### Paso 5: Calcular el volumen del prisma
El volumen \( V \) de un prisma se calcula como el área de la base \( A \) multiplicada por la altura \( h \):

\[
V = A \times h = 2122.08 \, \text{mm}^2 \times 50 \, \text{mm} = 106104 \, \text{mm}^3
\]

### Respuesta
El volumen del prisma es **106104 mm³**.

---

¿Necesitas más detalles o alguna explicación adicional? Aquí te dejo algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se deduce la fórmula del área de un triángulo equilátero?
2. ¿Qué diferencia hay en el cálculo del volumen si la base del prisma fuera un triángulo isósceles?
3. ¿Cómo cambiaría el volumen si la altura del prisma fuera el doble?
4. ¿Qué métodos existen para calcular el área lateral de otros prismas?
5. ¿Cómo se relaciona el área lateral con el volumen en diferentes prismas?

**Tip:** Al trabajar con unidades diferentes, asegúrate de convertirlas al mismo sistema para evitar errores en los cálculos.

Learn how to calculate the volume of a prism with an equilateral triangle base. This problem involves converting units, determining side length of a triangle, and applying geometric formulas. Suitable for students in Grades 9-12.

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