Resolver los siguientes ejercicios: Valor Presente de una Anualidad Vencida:
Determinar el valor presente de una anualidad vencida de $4000 al final de cada año durante 8 años, con una tasa de interés del 5% anual.

Calcular el valor presente de una anualidad vencida de $600 al final de cada semestre durante 6 años, si la tasa de interés es del 3% semestral.



Para resolver los ejercicios sobre el valor presente de una anualidad vencida, utilizaremos la fórmula general del valor presente de una anualidad vencida:

\[
VP = R \times \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}
\]

Donde:
- $ VP $ es el valor presente.
- $ R $ es el pago periódico.
- $ i $ es la tasa de interés por período.
- $ n $ es el número total de pagos.

### 1. Determinar el valor presente de una anualidad vencida de $4000 al final de cada año durante 8 años, con una tasa de interés del 5% anual.
Datos:
- $ R = 4000 $
- $ i = 5\% = 0.05 $ anual
- $ n = 8 $ años

Aplicamos la fórmula:

\[
VP = 4000 \times \frac{1 - (1 + 0.05)^{-8}}{0.05}
\]

Calculando:

\[
VP = 4000 \times \frac{1 - (1.05)^{-8}}{0.05} = 4000 \times \frac{1 - 0.67684}{0.05} = 4000 \times \frac{0.32316}{0.05} = 4000 \times 6.4632 = 25852.8
\]

El valor presente es **$25,852.80**.

### 2. Calcular el valor presente de una anualidad vencida de $600 al final de cada semestre durante 6 años, si la tasa de interés es del 3% semestral.
Datos:
- $ R = 600 $
- $ i = 3\% = 0.03 $ semestral
- $ n = 6 $ años $ \times 2 = 12 $ semestres

Aplicamos la fórmula:

\[
VP = 600 \times \frac{1 - (1 + 0.03)^{-12}}{0.03}
\]

Calculando:

\[
VP = 600 \times \frac{1 - (1.03)^{-12}}{0.03} = 600 \times \frac{1 - 0.70138}{0.03} = 600 \times \frac{0.29862}{0.03} = 600 \times 9.954 = 5972.4
\]

El valor presente es **$5,972.40**.

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de estos cálculos o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo influye una tasa de interés más alta en el valor presente de una anualidad?
2. ¿Qué diferencia hay entre una anualidad vencida y una anticipada en términos de valor presente?
3. ¿Cómo se calcula el valor presente de una anualidad con pagos diferidos?
4. ¿Qué aplicaciones prácticas tienen las anualidades vencidas en finanzas?
5. ¿Cómo se ajusta el cálculo del valor presente si los pagos son de diferente magnitud?

### Tip:
Para interpretar correctamente el valor presente de una anualidad, recuerda que este representa la cantidad que deberías invertir hoy, a una tasa de interés específica, para cubrir todos los pagos futuros.

Learn how to calculate the present value of annuities: $4000 yearly for 8 years and $600 semi-annually for 6 years using detailed step-by-step solutions. Understand the application of annuities, interest rates, and present value formulas in financial calculations.

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