
در سیستم جرم و دیسک و فنری با داده های جرم=m شعاع دیسک کوچک =r شعاع دیسک بزرگ=4r و سختی فنر k فرکانس طبیعی را حساب کنید

برای محاسبه فرکانس طبیعی یک سیستم جرم و دیسک و فنر با داده‌های جرم \( m \)، شعاع دیسک کوچک \( r \)، شعاع دیسک بزرگ \( 4r \)، و سختی فنر \( k \)، ابتدا باید ساختار سیستم و نحوه‌ی اتصال جرم و فنر به دیسک‌ها را درک کنیم. 

فرض می‌کنیم سیستم به این صورت است:
- دیسک بزرگ با شعاع \( 4r \) و دیسک کوچک با شعاع \( r \) روی یک محور قرار دارند.
- جرم \( m \) به وسیله‌ی یک طناب یا فنر به دیسک کوچک متصل شده است.
- فنر با سختی \( k \) به جرم متصل است و احتمالاً از طریق یک دیسک یا یک تکیه‌گاه به دیسک بزرگ متصل است.
- طناب به دور دیسک کوچک پیچیده شده و فنر به نحوی به جرم وصل شده که با پیچیدن یا باز شدن طناب، فنر فشرده یا کشیده می‌شود.

در این حالت، می‌توان سیستم را به عنوان یک پاندول پیچشی مدل‌سازی کرد. سیستم در حالت تعادل در صورتی که جرم کمی جابه‌جا شود، یک حرکت نوسانی خواهد داشت. با فرض این که نیروهای پیچشی در دیسک‌ها اثر قابل توجهی ندارند و جرم دیسک‌ها نسبت به جرم \( m \) ناچیز است، می‌توان فرکانس طبیعی این سیستم را به دست آورد.

### محاسبه فرکانس طبیعی

برای یک پاندول پیچشی با فنر، فرکانس طبیعی \( \omega_n \) به صورت زیر داده می‌شود:

\[
\omega_n = \sqrt{\frac{k_{\text{eff}}}{I}}
\]

در اینجا:
- \( k_{\text{eff}} \) ثابت مؤثر سیستم است که به نحوی باید با سیستم مورد نظر مطابقت داده شود.
- \( I \) ممان اینرسی سیستم است.

**فرضیات و محاسبات:**

1. **ممان اینرسی \( I \):**  
   فرض کنید دیسک کوچک با جرم \( m \) متصل به محور چرخش در شعاع \( r \) قرار دارد. ممان اینرسی یک جرم نقطه‌ای نسبت به محوری در فاصله \( r \) به صورت زیر است:
   
   \[
   I = m r^2
   \]

2. **ثابت مؤثر سیستم \( k_{\text{eff}} \):**  
   فرض کنید فنر به گونه‌ای به سیستم متصل است که با پیچش جرم در شعاع \( r \) کشیده یا فشرده می‌شود. برای سیستم‌های پیچشی که در آنها طناب به دور دیسک پیچیده می‌شود، ثابت مؤثر به صورت زیر می‌تواند مدل شود:

   \[
   k_{\text{eff}} = \frac{k r^2}{(4r)^2}
   \]

   زیرا نیروی فنر \( k \) در حالتی که طناب به دور شعاع \( r \) پیچیده شود، باید در نسبت‌های مختلف بین شعاع‌های \( r \) و \( 4r \) توزیع شود. اینجا فرض شده است که نیروی فنر به طور خطی نسبت به فاصله مؤثر توزیع می‌شود.

3. **فرکانس طبیعی زاویه‌ای \( \omega_n \):**

   با جایگزینی \( k_{\text{eff}} \) و \( I \) در معادله:

   \[
   \omega_n = \sqrt{\frac{\frac{k r^2}{(4r)^2}}{m r^2}} = \sqrt{\frac{k}{16m}}
   \]

4. **فرکانس طبیعی \( f_n \):**

   فرکانس طبیعی \( f_n \) به صورت زیر است:

   \[
   f_n = \frac{\omega_n}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{16m}}
   \]

   این نتیجه نشان می‌دهد که فرکانس طبیعی سیستم به سادگی با سختی فنر و جرم مرتبط است، و شعاع‌های \( r \) و \( 4r \) در محاسبات نهایی فرکانس طبیعی ظاهر نمی‌شوند.

### نتیجه نهایی

فرکانس طبیعی سیستم به صورت زیر است:

\[
f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{16m}}
\]

### سوالات مرتبط:
1. چگونه تغییر در طول طناب یا شعاع دیسک بر فرکانس طبیعی تاثیر می‌گذارد؟
2. اگر دیسک‌ها جرم داشته باشند، فرکانس طبیعی چگونه تغییر می‌کند؟
3. اگر سیستم در یک محیط با میرایی حرکت کند، فرکانس طبیعی چگونه تغییر می‌کند؟
4. تفاوت بین فرکانس طبیعی و فرکانس زاویه‌ای چیست؟
5. چگونه می‌توان اثرات غیرخطی فنر را در محاسبات فرکانس طبیعی در نظر گرفت؟

### نکته:
در مسائل دینامیک، فرضیات ساده‌سازی مانند نادیده گرفتن جرم دیسک‌ها یا فرض خطی بودن نیروهای فنر می‌تواند به محاسبات سریع‌تر منجر شود، اما برای تحلیل دقیق‌تر، این اثرات باید در نظر گرفته شوند.

Learn how to calculate the natural frequency of a mass and disk system with a spring using mechanics principles. This problem involves determining the natural frequency given mass \( m \), small disk radius \( r \), large disk radius \( 4r \), and spring constant \( k \). Suitable for advanced physics or engineering students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation