Una esfera cuelga del extremo de un resorte y oscila verticalmente con el período de 2s. Si se aumenta la masa en 3Kg, el período aumenta 6s más. Calcular el valor inicial de la masa.

Para resolver este problema, usaremos la relación entre el período de oscilación de un sistema masa-resorte y la masa del objeto oscilante.

### Fórmula del período para un sistema masa-resorte:
El período de oscilación \( T \) de un sistema masa-resorte está dado por:
\[
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
\]
donde:
- \( T \) es el período de oscilación.
- \( m \) es la masa que cuelga del resorte.
- \( k \) es la constante de elasticidad del resorte.

### Paso 1: Determinar la relación inicial
Sabemos que el período inicial es \( T_1 = 2 \) s para una masa inicial \( m_1 \). Entonces:
\[
T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}} = 2 \, \text{s}
\]
De esta ecuación, podemos despejar \( \sqrt{\frac{m_1}{k}} \):
\[
\sqrt{\frac{m_1}{k}} = \frac{2}{2\pi} = \frac{1}{\pi}
\]
\[
\frac{m_1}{k} = \frac{1}{\pi^2}
\]
\[
m_1 = \frac{k}{\pi^2} \quad \text{(Ecuación 1)}
\]

### Paso 2: Relación con la masa incrementada
Cuando la masa aumenta en 3 kg, el período se incrementa a \( T_2 = 2 + 6 = 8 \) s. Entonces:
\[
T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} = 8 \, \text{s}
\]
\[
\sqrt{\frac{m_2}{k}} = \frac{8}{2\pi} = \frac{4}{\pi}
\]
\[
\frac{m_2}{k} = \frac{16}{\pi^2}
\]
\[
m_2 = \frac{16k}{\pi^2} \quad \text{(Ecuación 2)}
\]
Como \( m_2 = m_1 + 3 \), podemos sustituir \( m_1 \) de la ecuación 1 en la ecuación 2:
\[
\frac{16k}{\pi^2} = \frac{k}{\pi^2} + 3
\]
\[
\frac{16k}{\pi^2} - \frac{k}{\pi^2} = 3
\]
\[
\frac{15k}{\pi^2} = 3
\]
\[
k = \frac{3\pi^2}{15} = \frac{\pi^2}{5}
\]

### Paso 3: Calcular la masa inicial
Ahora sustituimos \( k \) en la ecuación 1 para hallar \( m_1 \):
\[
m_1 = \frac{k}{\pi^2} = \frac{\frac{\pi^2}{5}}{\pi^2} = \frac{1}{5} \, \text{kg} 
\]

### Respuesta:
La masa inicial \( m_1 \) es de \( \boxed{0.2 \, \text{kg}} \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo afecta la constante del resorte al período de oscilación?
2. ¿Qué sucede si se reduce la masa en lugar de aumentarla?
3. ¿Cómo calcular la constante del resorte experimentalmente?
4. ¿Qué diferencia hay entre oscilaciones libres y forzadas?
5. ¿Qué papel juega la gravedad en un sistema masa-resorte?

### Tip:
Cuando trabajes con períodos y masas en sistemas masa-resorte, recuerda que el período depende de la raíz cuadrada de la masa. Por lo tanto, los cambios en la masa tienen un impacto no lineal en el período.

Learn how to calculate the initial mass in a mass-spring system problem where a sphere hangs from the end of a spring and oscillates vertically. Solve the problem step-by-step with detailed explanations and formulas. Suitable for high school students studying oscillatory motion and physics.

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