se log de x na base a e igual a n e log de y na base a e igual a 6n calcule log da raiz cubica de x elevado a 3, vezes y em função do n

Para resolver o problema, vamos começar usando as propriedades dos logaritmos.

Dado:
- \(\log_a(x) = n\)
- \(\log_a(y) = 6n\)

Queremos encontrar \(\log_a\left(\sqrt[3]{x^3 \cdot y}\right)\) em função de \(n\).

1. **Simplifique o argumento do logaritmo:**

\[
\sqrt[3]{x^3 \cdot y} = (x^3 \cdot y)^{\frac{1}{3}} = x \cdot y^{\frac{1}{3}}
\]

2. **Use a propriedade do logaritmo para produtos:**

\[
\log_a\left(x \cdot y^{\frac{1}{3}}\right) = \log_a(x) + \log_a\left(y^{\frac{1}{3}}\right)
\]

3. **Use a propriedade do logaritmo para potências:**

\[
\log_a\left(y^{\frac{1}{3}}\right) = \frac{1}{3} \log_a(y)
\]

Substituindo os valores dados:

\[
\log_a(x) + \frac{1}{3} \log_a(y) = n + \frac{1}{3} \cdot 6n
\]

4. **Simplifique a expressão:**

\[
n + 2n = 3n
\]

Portanto, \(\log_a\left(\sqrt[3]{x^3 \cdot y}\right) = 3n\).

Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida, é só avisar!

Aqui estão 5 perguntas relacionadas:
1. Como as propriedades dos logaritmos podem ser aplicadas em diferentes bases?
2. Qual é a importância de entender as propriedades do logaritmo para resolver equações logarítmicas?
3. Como a transformação de logaritmos afeta a simplificação de expressões algébricas?
4. O que ocorre se mudarmos a base do logaritmo na equação inicial?
5. Como poderíamos aplicar este conceito em problemas do mundo real?

**Dica:** Sempre que trabalhar com logaritmos, lembre-se das propriedades básicas (produto, quociente e potência) para simplificar expressões complexas.

Explore how to calculate the logarithm of the cube root of x raised to 3, times y, in terms of n. This problem delves into the properties of logarithms and exponentiation, providing a step-by-step solution. Suitable for advanced high school students and those preparing for logarithmic equations.

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