积分1/(1+sinx)^2，上限为π，下限为0

要计算定积分 \(\int_{0}^{\pi} \frac{1}{(1 + \sin x)^2} \, dx\)，我们可以使用三角恒等式和积分技巧。下面是详细的解答步骤：

1. 通过替换 \( t = \tan\left(\frac{x}{2}\right) \) （Weierstrass substitution），我们将积分中的三角函数转换为有理函数。记住：
   \[
   \sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad dx = \frac{2 \, dt}{1 + t^2}
   \]

2. 代入后，积分变为：
   \[
   I = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{(1 + \sin x)^2} \, dx = \int_{0}^{\infty} \frac{\frac{2 \, dt}{1 + t^2}}{\left(1 + \frac{2t}{1 + t^2}\right)^2}
   \]

3. 化简并计算积分：
   \[
   I = \int_{0}^{\infty} \frac{2 \, dt}{(1 + t^2 + 2t)^2} = \int_{0}^{\infty} \frac{2 \, dt}{(t + 1)^4}
   \]

4. 最后，积分计算为：
   \[
   I = \left. -\frac{1}{3(t + 1)^3} \right|_{0}^{\infty} = \frac{1}{3}
   \]

因此，\(\int_{0}^{\pi} \frac{1}{(1 + \sin x)^2} \, dx = \frac{1}{3}\)。

是否需要进一步的解释或有其他问题？

### 相关问题：
1. 如何推导Weierstrass代换的公式？
2. 为什么三角积分可以通过有理代换来简化？
3. 在什么情况下使用Weierstrass代换是最有效的？
4. 其他涉及三角函数的常见积分是什么？
5. 如何处理具有不同上下限的积分？

### 小提示：
当处理三角积分时，考虑将三角函数转换为有理函数，这可以显著简化积分过程。

Learn how to calculate the definite integral of 1 / (1 + sin(x))^2 from 0 to π with detailed step-by-step solution using trigonometric substitution and rational function simplification techniques. Suitable for advanced high school and undergraduate students.

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