Uma viatura de polícia, vindo do norte e aproximando-se de um cruzamento em ângulo reto, está perseguindo um carro em alta velocidade, que no cruzamento toma a direção leste. Quando a viatura está a 0,8 mi ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a 0,9 mi a leste, o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está aumentando a 40 mi/h. Se a viatura está se deslocando a 80 mi/h no instante dessa medida, qual é a velocidade do fugitivo?

Este problema trata-se de um típico exemplo de taxa relacionada. Para resolvê-lo, vamos considerar as variáveis e usar o teorema de Pitágoras e suas derivadas.

### Passo 1: Definir as variáveis

- \( x(t) \) é a distância do carro fugitivo ao cruzamento, medida ao longo da direção leste (em milhas).
- \( y(t) \) é a distância da viatura policial ao cruzamento, medida ao longo da direção norte (em milhas).
- \( z(t) \) é a distância entre a viatura e o fugitivo (hipotenusa do triângulo retângulo formado pelas distâncias \(x\) e \(y\)).

Pelo teorema de Pitágoras, temos a relação entre essas variáveis:

\[
z^2 = x^2 + y^2
\]

### Passo 2: Derivar a equação com respeito ao tempo

Para encontrar a relação entre as velocidades, derivamos ambos os lados da equação com respeito ao tempo \( t \):

\[
2z \frac{dz}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt}
\]

Podemos simplificar, dividindo por 2:

\[
z \frac{dz}{dt} = x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt}
\]

### Passo 3: Substituir os valores conhecidos

Sabemos que:

- \( x = 0,9 \) mi (distância do fugitivo ao cruzamento),
- \( y = 0,8 \) mi (distância da viatura ao cruzamento),
- \( \frac{dy}{dt} = -80 \) mi/h (velocidade da viatura, negativa porque se aproxima do cruzamento),
- \( \frac{dz}{dt} = 40 \) mi/h (taxa de variação da distância entre a viatura e o fugitivo, positiva pois a distância está aumentando).

Primeiro, calculamos \( z \), a distância entre a viatura e o fugitivo no momento dado:

\[
z = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{0,9^2 + 0,8^2} = \sqrt{0,81 + 0,64} = \sqrt{1,45} \approx 1,204 \text{ mi}
\]

Agora, substituímos os valores na equação:

\[
1,204 \times 40 = 0,9 \times \frac{dx}{dt} + 0,8 \times (-80)
\]

Resolvendo a equação:

\[
48,16 = 0,9 \times \frac{dx}{dt} - 64
\]

\[
48,16 + 64 = 0,9 \times \frac{dx}{dt}
\]

\[
112,16 = 0,9 \times \frac{dx}{dt}
\]

\[
\frac{dx}{dt} = \frac{112,16}{0,9} \approx 124,62 \text{ mi/h}
\]

### Resposta:

A velocidade do fugitivo é aproximadamente **124,62 mi/h**.

Se precisar de mais detalhes ou tiver dúvidas, sinta-se à vontade para perguntar!

Aqui estão algumas perguntas relacionadas:
1. Como podemos aplicar o teorema de Pitágoras em outros problemas de taxa relacionada?
2. Quais são as condições ideais para usar derivadas em problemas de movimento?
3. Como a direção de um vetor afeta sua velocidade relativa a outro objeto?
4. Como podemos modelar esse problema em um sistema de coordenadas tridimensional?
5. Em que outros cenários a velocidade de afastamento entre dois objetos pode ser medida?

**Dica**: Sempre que trabalhar com taxas relacionadas, é útil definir todas as variáveis e suas taxas de variação antes de aplicar qualquer regra de derivação.

Solve a real-world problem involving a police car and a fugitive using related rates and the Pythagorean theorem. Learn how to calculate the fugitive's speed when the police car's radar detects the distance between them is increasing at 40 mi/h. In this scenario, the police car is traveling at 80 mi/h, and distances from the intersection are provided. Suitable for Grade 12 or college-level calculus students.

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