En una sucesión aritmética la relación de los términos cuarto y sexto es 11/15 y los terminos primero y octavo suman 72. Calcula el quinto término.

En una sucesión aritmética, podemos expresar los términos de la siguiente manera:

- El primer término es \( a \).
- La diferencia común es \( d \).
- El cuarto término es \( a + 3d \).
- El sexto término es \( a + 5d \).
- El octavo término es \( a + 7d \).
- El quinto término es \( a + 4d \), que es lo que queremos encontrar.

### Paso 1: Relación entre los términos cuarto y sexto
Se nos dice que la relación entre el cuarto término y el sexto término es \( \frac{11}{15} \), es decir:

\[
\frac{a + 3d}{a + 5d} = \frac{11}{15}
\]

Multiplicamos en cruz para eliminar la fracción:

\[
15(a + 3d) = 11(a + 5d)
\]

Desarrollamos ambos lados:

\[
15a + 45d = 11a + 55d
\]

Restamos \( 11a \) y \( 45d \) de ambos lados:

\[
4a = 10d
\]

Dividimos entre 2:

\[
2a = 5d \quad \text{(Ecuación 1)}
\]

### Paso 2: Relación entre el primer y octavo término
También se nos dice que la suma del primer y octavo término es 72, es decir:

\[
a + (a + 7d) = 72
\]

Simplificamos:

\[
2a + 7d = 72 \quad \text{(Ecuación 2)}
\]

### Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones
Tenemos dos ecuaciones:

1. \( 2a = 5d \)
2. \( 2a + 7d = 72 \)

Sustituimos \( 2a = 5d \) en la segunda ecuación:

\[
5d + 7d = 72
\]

Simplificamos:

\[
12d = 72
\]

Dividimos entre 12:

\[
d = 6
\]

### Paso 4: Calcular \( a \)
Ahora que sabemos que \( d = 6 \), sustituimos en \( 2a = 5d \):

\[
2a = 5 \times 6 = 30
\]

Por lo tanto:

\[
a = 15
\]

### Paso 5: Calcular el quinto término
El quinto término es \( a + 4d \):

\[
a + 4d = 15 + 4 \times 6 = 15 + 24 = 39
\]

El quinto término es \( \boxed{39} \).

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Cómo se identifica una sucesión aritmética?
2. ¿Qué ocurre si la razón entre dos términos no es una fracción simple?
3. ¿Cómo se generaliza la fórmula de una sucesión aritmética?
4. ¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones con más términos?
5. ¿Cuándo la suma de términos consecutivos da pistas sobre el primer término?

**Tip:** Las sucesiones aritméticas siempre mantienen una diferencia constante entre términos consecutivos.

En una sucesión aritmética la relación de los términos cuarto y sexto es 11/15 y los términos primero y octavo suman 72. Calcula el quinto término.

Learn how to solve a problem involving an arithmetic sequence where the relation between the fourth and sixth terms is 11/15, and the sum of the first and eighth terms is 72. This solution explains key concepts such as arithmetic sequences, proportions, and systems of linear equations, suitable for Grades 9-10.

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