Un topógrafo debe medir la distancia que hay entre dos casas, el mide el ángulo ACB cuya medida es de 65º luego camina la distancia a cada casa A y B, 40 y 60 metros respectivamente ¿a qué distancia se encuentran las casas?

Para resolver este problema de topografía, utilizaremos la **Ley de los Cosenos** para encontrar la distancia entre las dos casas. La Ley de los Cosenos es útil cuando se tiene un triángulo no rectángulo y se conoce uno de los ángulos y las longitudes de los lados que lo forman.

### Descripción del Problema
Tenemos un triángulo \( \triangle ACB \) donde:
- El ángulo \( \angle ACB \) mide \( 65^\circ \).
- La distancia \( CA \) es \( 40 \) metros.
- La distancia \( CB \) es \( 60 \) metros.

Necesitamos encontrar la distancia \( AB \), que es el lado opuesto al ángulo \( C \).

### Ley de los Cosenos
La Ley de los Cosenos establece que, para cualquier triángulo con lados \( a \), \( b \), y \( c \), y un ángulo \( \gamma \) opuesto al lado \( c \):

\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)
\]

En este problema:
- \( a = 40 \) m (lado \( CA \))
- \( b = 60 \) m (lado \( CB \))
- \( \gamma = 65^\circ \) (ángulo \( \angle ACB \))

Sustituimos en la fórmula para encontrar \( c \) (lado \( AB \)):

\[
c^2 = 40^2 + 60^2 - 2 \cdot 40 \cdot 60 \cdot \cos(65^\circ)
\]

### Cálculo
Ahora calculamos cada parte de la ecuación:

1. **Cuadrados de los lados:**
   \[
   40^2 = 1600
   \]
   \[
   60^2 = 3600
   \]

2. **Producto y coseno:**
   \[
   2 \cdot 40 \cdot 60 = 4800
   \]
   \[
   \cos(65^\circ) \approx 0.4226 \quad (\text{usando calculadora o tabla})
   \]

3. **Producto total:**
   \[
   4800 \cdot 0.4226 \approx 2028.48
   \]

4. **Sustituyendo todo:**
   \[
   c^2 = 1600 + 3600 - 2028.48
   \]
   \[
   c^2 = 5200 - 2028.48
   \]
   \[
   c^2 = 3171.52
   \]

5. **Calculando \( c \):**
   \[
   c = \sqrt{3171.52} \approx 56.33
   \]

Por lo tanto, la distancia entre las dos casas \( AB \) es aproximadamente **56.33 metros**.

### Resumen
La distancia entre las dos casas, medidas por el topógrafo, es aproximadamente **56.33 metros**.

### Preguntas Relacionadas
1. ¿Cómo se aplicaría la Ley de Seno para resolver problemas similares?
2. ¿Qué otras aplicaciones prácticas tiene la Ley de los Cosenos?
3. ¿Cómo afecta la precisión del ángulo a los cálculos de distancia?
4. ¿Cómo se puede medir el ángulo de manera más precisa en la práctica?
5. ¿Qué técnicas existen para resolver triángulos cuando no se conoce ningún ángulo?
6. ¿Cuáles son las diferencias clave entre la Ley de Seno y la Ley de Cosenos?
7. ¿Cómo se puede comprobar la exactitud de una medición topográfica?
8. ¿Qué papel juegan los triángulos en la topografía y la navegación?

### Tip
Para mejorar la precisión en problemas de topografía, siempre verifique las mediciones de ángulos y distancias con dispositivos avanzados como un teodolito o una estación total.

Learn how to calculate the distance between two houses using the Law of Cosines in a topography problem. Given the angle ACB = 65°, and distances CA = 40 m and CB = 60 m, find the distance AB. Follow step-by-step calculations and understand the application of trigonometric laws in real-world measurements. Suitable for high school students and topography enthusiasts.

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