נחשב את ערכי \( x_c \) ו-\( y_c \) לפי השלבים הבאים.

### חישוב \( x_c \):
הביטוי עבור \( x_c \) הוא:

\[
x_c = \frac{1}{M} \iint\limits_{D} x \rho(x,y) \, dA
\]

במערכת קואורדינטות פולרית:

\[
x = r\cos\theta \quad \text{ו-} \quad \rho(x,y) = 2r\sin\theta
\]

ולכן:

\[
x_c = \frac{1}{M} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{1}^{5} r\cos\theta \times 2r\sin\theta \times r \, dr \, d\theta
\]

נבצע את האינטגרציה:

\[
x_c = \frac{1}{M} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \sin\theta \, d\theta \times \int_{1}^{5} 2r^3 \, dr
\]

1. נחשב את האינטגרל לפי \( r \):

\[
\int_{1}^{5} 2r^3 \, dr = \frac{2r^4}{4} \Bigg|_{1}^{5} = \frac{1}{2}(625 - 1) = 312
\]

2. נחשב את האינטגרל לפי \( \theta \):

\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \sin\theta \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2\theta) \, d\theta = \frac{1}{4}
\]

מכאן:

\[
x_c = \frac{1}{M} \times \frac{1}{4} \times 312 = \frac{312}{4M} = \frac{78}{\frac{248}{3}} = \frac{78 \times 3}{248} = \frac{234}{248} = \frac{117}{124}
\]

### חישוב \( y_c \):
בגלל הסימטריה, \( x_c = y_c \). כלומר:

\[
y_c = x_c = \frac{117}{124}
\]

### סיכום ערכי \( x_c \) ו-\( y_c \):
\[
x_c = y_c = \frac{117}{124}
\]

**האם תרצה הסברים נוספים או עזרה נוספת?**

### שאלות להרחבה:
1. כיצד היה משתנה החישוב אם הצפיפות הייתה פונקציה של \( x \) בלבד?
2. איך ניתן לחשב את מרכז המסה במקרה של צורה אחרת?
3. מה המשמעות הפיזיקלית של מרכז המסה במערכת זו?
4. כיצד ניתן להרחיב את החישוב הזה לצורות תלת-ממדיות?
5. איך הסימטריה של האזור משפיעה על מרכז המסה?
6. כיצד חישובים אלו מתקשרים לכוחות ושיווי משקל?
7. מה הקשר בין מרכז המסה למרכז הגיאומטרי של האזור?
8. כיצד נראית המשוואה אם היה שינוי בתחום האינטגרציה?

### טיפ:
בבעיות סימטריה, ניתן לנצל את התכונות הסימטריות של האובייקט כדי לפשט חישובים ולהפחית את כמות האינטגרלים הנדרשים.

Learn how to calculate the center of mass using double integrals and polar coordinates. This problem involves integrating over a region to find the average position of mass, applicable in advanced undergraduate mathematics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation