חשבו את המסה ומרכז המסה של חלק הטבעת

1≤x2+y2≤25
 

הנמצא ברביע הראשון, בתנאי שצפיפות החומר שממנו עשויה הטבעת נתונה על-ידי

ρ(x,y)=2⋅y
 

M
 =
248/3


כדי לחשב את המסה \( M \) ומרכז המסה \( (x_c, y_c) \) של חלק הטבעת הנתון, נבצע את השלבים הבאים:

### 1. הגדרת האזור והצפיפות
הטבעת נמצאת ברביע הראשון ולכן:
- האזור המתאים הוא \( 1 \leq x^2 + y^2 \leq 25 \), כאשר \( x \geq 0 \) ו-\( y \geq 0 \).

צפיפות החומר נתונה על ידי \( \rho(x,y) = 2y \).

### 2. חישוב המסה \( M \)
המסה \( M \) ניתנת על ידי האינטגרל הכפול של צפיפות החומר \( \rho(x,y) \) על פני השטח:

\[
M = \iint\limits_{D} \rho(x,y) \, dA
\]

נבחר במערכת קואורדינטות פולריות, כאשר \( x = r\cos\theta \), \( y = r\sin\theta \), ו-\( dA = r \, dr \, d\theta \).

הצפיפות במערכת פולרית תהיה:
\[
\rho(r,\theta) = 2r\sin\theta
\]

תחום האינטגרציה הוא:
- \( r \) נע בין \( 1 \) ל-\( 5 \).
- \( \theta \) נע בין \( 0 \) ל-\( \frac{\pi}{2} \).

המסה תהיה:

\[
M = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{1}^{5} 2r^2\sin\theta \, dr \, d\theta
\]

נבצע את האינטגרציה:

1. אינטגרציה פנימית לפי \( r \):

\[
\int_{1}^{5} 2r^2 \, dr = \frac{2r^3}{3} \Bigg|_{1}^{5} = \frac{2(125 - 1)}{3} = \frac{248}{3}
\]

2. אינטגרציה חיצונית לפי \( \theta \):

\[
M = \frac{248}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \, d\theta = \frac{248}{3} \Bigg[-\cos\theta\Bigg]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{248}{3} \times 1 = \frac{248}{3}
\]

### 3. חישוב מרכז המסה \( (x_c, y_c) \)
מרכז המסה מוגדר כך:

\[
x_c = \frac{1}{M} \iint\limits_{D} x \rho(x,y) \, dA
\]

\[
y_c = \frac{1}{M} \iint\limits_{D} y \rho(x,y) \, dA
\]

#### חישוב \( x_c \):
בגלל הסימטריה של האזור ברביע הראשון, \( x_c \) יהיה:

\[
x_c = \frac{1}{M} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{1}^{5} r\cos\theta \times 2r\sin\theta \times r \, dr \, d\theta = \frac{1}{M} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \sin\theta \, d\theta \times \int_{1}^{5} 2r^3 \, dr 
\]

אך כתוצאה מהסימטריה, אפשר לזהות ש-\( x_c = y_c \), ולכן אפשר לבצע רק את חישוב \( y_c \).

#### חישוב \( y_c \):

\[
y_c = \frac{1}{M} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta \, d\theta \times \int_{1}^{5} 2r^4 \, dr 
\]

נחשב את \( \int_{1}^{5} 2r^4 \, dr \):

\[
\int_{1}^{5} 2r^4 \, dr = \frac{2r^5}{5} \Bigg|_{1}^{5} = \frac{2(3125 - 1)}{5} = \frac{6248}{5}
\]

ואז:

\[
y_c = \frac{5}{624} \times \frac{\pi}{2} 
\]

### סיכום התוצאה:
- מסה \( M \) = \( \frac{248}{3} \)
- מרכז מסה \( y_c = \frac{\pi}{2} \times \frac{5}{624} \)

**האם תרצה פירוט נוסף?**

### שאלות להרחבה:
1. כיצד מתחשבים בשינוי צורת השטח?
2. איך נראית האינטגרציה במערכת קואורדינטות אחרות?
3. מהן השגיאות הנפוצות בעת חישוב מרכזי מסה?
4. מה ההבדל בין מרכז מסה של חלק לטבעת שלמה?
5. כיצד משפיעה הצפיפות על מרכז המסה?
6. האם שינוי באזורים הנתונים ישפיע על תוצאות החישוב?
7. כיצד היה משתנה החישוב אם הצפיפות הייתה תלויה גם ב-\( x \)?
8. מהי השפעת כוחות חיצוניים על מרכז המסה?

### טיפ:
חישובים במערכת קואורדינטות פולריות יכולים להקל על אינטגרציה במקרים של סימטריה מעגלית.

Learn how to calculate the mass \( M \) and center of mass \( (x_c, y_c) \) for a given ring segment using double integrals and polar coordinates. The problem involves determining the mass density function \( \rho(x,y) = 2y \) over the specified region. Suitable for college-level students studying calculus and multivariable calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation