https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1724762431032l4u5zlwj.jpg

El ingeniero Carlos desea hacer un cableado, desde un punto C, hasta la cima
de una montaña (punto A), como se ve en la imagen. Para ello, toma medidas
desde el punto C, hasta un punto B, ubicado al pie de la montaña, obteniendo
5 km; posteriormente, toma medidas desde el punto B, hasta el punto A,
obteniendo una medida de 4 km. Finalmente mide el ángulo CBA, el cual mide
127o. ¿Qué longitud debe tener el cable?

Para resolver este problema, podemos utilizar el **Teorema del Coseno**, ya que tenemos dos lados del triángulo y el ángulo entre ellos.

### Datos:
- \( BC = 5 \) km
- \( BA = 4 \) km
- \( \angle CBA = 127^\circ \)

### Teorema del Coseno:
El Teorema del Coseno establece que en cualquier triángulo:

\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)
\]

Donde:
- \( c \) es el lado opuesto al ángulo \( \gamma \) (en este caso, \( CA \) que es la longitud del cable).
- \( a = BC = 5 \) km
- \( b = BA = 4 \) km
- \( \gamma = \angle CBA = 127^\circ \)

### Sustituyendo los valores:

\[
CA^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \times 5 \times 4 \times \cos(127^\circ)
\]

\[
CA^2 = 25 + 16 - 40 \times \cos(127^\circ)
\]

Calculamos \( \cos(127^\circ) \):

\[
\cos(127^\circ) \approx -0.6018
\]

\[
CA^2 = 25 + 16 - 40 \times (-0.6018)
\]

\[
CA^2 = 25 + 16 + 24.072
\]

\[
CA^2 = 65.072
\]

\[
CA = \sqrt{65.072} \approx 8.07 \, \text{km}
\]

### Resultado:
La longitud del cable que el ingeniero Carlos debe instalar desde el punto C hasta la cima de la montaña en el punto A es de **aproximadamente 8.07 km**.

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¿Te gustaría alguna explicación adicional o tienes preguntas específicas?

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**Preguntas Relativas:**

1. ¿Cómo afectaría el resultado si el ángulo \(\angle CBA\) fuese menor de 90 grados?
2. ¿En qué casos no se podría aplicar el Teorema del Coseno en un triángulo?
3. ¿Qué ocurre con la longitud del cable si la distancia entre \(B\) y \(C\) aumenta?
4. ¿Podríamos utilizar el Teorema del Seno para encontrar la longitud del cable? ¿Por qué sí o no?
5. ¿Cómo podríamos verificar la exactitud del cálculo de la longitud del cable?

**Tip**: El Teorema del Coseno es especialmente útil en triángulos donde se conocen dos lados y el ángulo entre ellos, permitiendo calcular el tercer lado con precisión.

Learn how to calculate the length of a cable from point C to the mountain top at point A using the Law of Cosines. Given distances BC = 5 km and BA = 4 km, and angle CBA = 127°, find the precise length of the cable. This problem involves trigonometric calculations and the application of the Law of Cosines in triangle geometry.

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