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Hallar el aérea de la región sombreada de las figuras geométricas

Para hallar el área de la región sombreada en la figura, debemos restar el área del rectángulo pequeño (blanco) del área del rectángulo grande (sombreado).

Primero, hallamos el área del rectángulo grande:
- La base del rectángulo grande es \( y^5 - y^2 \).
- La altura del rectángulo grande es \( y \).

Por lo tanto, el área del rectángulo grande es:
\[ A_{\text{grande}} = (y^5 - y^2) \cdot y = y^6 - y^3 \]

Ahora, hallamos el área del rectángulo pequeño:
- La base del rectángulo pequeño es \( 2y^3 + 5 \).
- La altura del rectángulo pequeño es \( 4 \).

Por lo tanto, el área del rectángulo pequeño es:
\[ A_{\text{pequeño}} = (2y^3 + 5) \cdot 4 = 8y^3 + 20 \]

Finalmente, restamos el área del rectángulo pequeño del área del rectángulo grande para obtener el área de la región sombreada:
\[ A_{\text{sombreada}} = A_{\text{grande}} - A_{\text{pequeño}} \]
\[ A_{\text{sombreada}} = (y^6 - y^3) - (8y^3 + 20) \]
\[ A_{\text{sombreada}} = y^6 - y^3 - 8y^3 - 20 \]
\[ A_{\text{sombreada}} = y^6 - 9y^3 - 20 \]

Entonces, el área de la región sombreada es \( y^6 - 9y^3 - 20 \).

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta sobre este cálculo? Aquí tienes algunas preguntas adicionales que podrías hacer:

1. ¿Cómo se calcula el área de una figura compuesta?
2. ¿Cuál es la diferencia entre el área y el perímetro?
3. ¿Cómo se simplifican expresiones algebraicas?
4. ¿Cómo se resuelven ecuaciones polinómicas?
5. ¿Qué aplicaciones prácticas tienen estas fórmulas de área en geometría?

**Tip:** Cuando trabajes con expresiones algebraicas, asegúrate de combinar términos semejantes y simplificar lo más posible para obtener la respuesta final más clara.

Learn how to calculate the area of the shaded region in geometric figures using algebraic methods. This problem involves subtracting the area of a smaller rectangle from a larger rectangle and simplifying algebraic expressions. Suitable for Grades 10-12.

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