Uma embalagem, no formato de uma pirâmide com base quadrada, está sendo produzida por uma fábrica. Sabendo que o apótema dessa embalagem tem 30 cm, e que o lado da base mede 12 cm, qual é a área total e o volume dessa pirâmide

Para calcular a área total e o volume de uma pirâmide de base quadrada, precisamos considerar a área da base e a área lateral da pirâmide, bem como sua altura.

### 1. Área Total da Pirâmide

A área total da pirâmide é a soma da área da base e da área lateral.

#### Área da Base

A base da pirâmide é um quadrado com lado de 12 cm. A área de um quadrado é dada por:

\[
A_{\text{base}} = \text{lado}^2 = 12^2 = 144 \, \text{cm}^2
\]

#### Área Lateral

A área lateral da pirâmide é composta por 4 triângulos congruentes, cada um com base igual ao lado da base da pirâmide e altura igual ao apótema da pirâmide (30 cm).

A área de um triângulo é dada por:

\[
A_{\text{triângulo}} = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}
\]

Portanto, a área de um triângulo lateral é:

\[
A_{\text{triângulo}} = \frac{12 \times 30}{2} = 180 \, \text{cm}^2
\]

Como há 4 triângulos, a área lateral total é:

\[
A_{\text{lateral}} = 4 \times 180 = 720 \, \text{cm}^2
\]

Então, a área total da pirâmide é:

\[
A_{\text{total}} = A_{\text{base}} + A_{\text{lateral}} = 144 + 720 = 864 \, \text{cm}^2
\]

### 2. Volume da Pirâmide

O volume de uma pirâmide é dado por:

\[
V = \frac{A_{\text{base}} \times h}{3}
\]

Para calcular o volume, precisamos da altura \( h \) da pirâmide. Sabemos o apótema da face lateral (30 cm) e o lado da base (12 cm). A altura da pirâmide pode ser calculada usando o triângulo formado pela altura da pirâmide, metade do lado da base, e o apótema.

Esse é um triângulo retângulo, em que o apótema é a hipotenusa, a altura da pirâmide é um cateto e metade do lado da base é o outro cateto:

\[
\left( \frac{12}{2} \right)^2 + h^2 = 30^2
\]

\[
6^2 + h^2 = 900
\]

\[
36 + h^2 = 900
\]

\[
h^2 = 864
\]

\[
h = \sqrt{864} \approx 29,39 \, \text{cm}
\]

Agora podemos calcular o volume:

\[
V = \frac{144 \times 29,39}{3} \approx \frac{4222,56}{3} \approx 1407,52 \, \text{cm}^3
\]

### Resultados Finais

- **Área Total**: \(864 \, \text{cm}^2\)
- **Volume**: \(1407,52 \, \text{cm}^3\)

---

Você gostaria de mais detalhes ou tem alguma pergunta?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas para expandir seu entendimento:

1. Como a fórmula para o volume de uma pirâmide é derivada?
2. Como calcular a altura de uma pirâmide se apenas a área total for conhecida?
3. Qual seria a área total se o lado da base fosse aumentado para 15 cm?
4. Como o cálculo muda se a base da pirâmide for um retângulo ao invés de um quadrado?
5. Como encontrar a altura de um tetraedro regular usando apenas o lado da base?

**Dica:** Para encontrar a altura de uma pirâmide com base quadrada, o triângulo retângulo formado pela altura, metade do lado da base, e o apótema é muito útil!

Uma embalagem, no formato de uma pirâmide com base quadrada, está sendo produzida por uma fábrica. Sabendo que o apótema dessa embalagem tem 30 cm, e que o lado da base mede 12 cm, qual é a área total e o volume dessa pirâmide?

Calcule a área total e o volume de uma pirâmide com base quadrada, onde o apótema mede 30 cm e o lado da base mede 12 cm. A solução envolve o uso do Teorema de Pitágoras para encontrar a altura da pirâmide e inclui cálculos de área e volume. Ideal para estudantes do ensino médio.

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