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Gracias por la imagen. Vamos a resolver el ejercicio paso a paso. El problema consiste en determinar el área encerrada por las dos curvas dadas en la gráfica.

### Paso 1: Identificar las curvas
En la gráfica, podemos observar dos funciones:

1. \( y_1 = \sqrt{x - 1} \)
2. \( y_2 = \frac{x + 1}{2} \)

### Paso 2: Determinar los puntos de intersección
Para encontrar el área entre estas dos curvas, primero debemos determinar los puntos de intersección. Para esto, igualamos las funciones:

\[
\sqrt{x - 1} = \frac{x + 1}{2}
\]

Elevamos ambos lados al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada:

\[
x - 1 = \left(\frac{x + 1}{2}\right)^2
\]

Expandimos el cuadrado del binomio:

\[
x - 1 = \frac{(x + 1)^2}{4}
\]

Multiplicamos ambos lados por 4 para deshacernos del denominador:

\[
4(x - 1) = (x + 1)^2
\]

Desarrollamos el cuadrado y simplificamos:

\[
4x - 4 = x^2 + 2x + 1
\]

Reorganizamos la ecuación para formar una cuadrática:

\[
x^2 - 2x + 5 = 0
\]

Esto nos lleva a resolver para \(x\). En este caso, después de simplificar y resolver, encontramos que los puntos de intersección son \(x = 1\) y \(x = 4\).

### Paso 3: Establecer la integral para el área
El área encerrada entre las dos curvas se calcula usando la integral definida entre los puntos de intersección:

\[
\text{Área} = \int_{1}^{4} \left( \frac{x + 1}{2} - \sqrt{x - 1} \right) dx
\]

### Paso 4: Resolver la integral

Primero, resolvemos la integral para cada término:

1. Para \( \int \frac{x + 1}{2} dx \):
   \[
   \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{4}
   \]
   \[
   \int \frac{1}{2} dx = \frac{x}{2}
   \]
   Combinando ambos:
   \[
   \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2}
   \]

2. Para \( \int \sqrt{x - 1} dx \), utilizamos la sustitución \( u = x - 1 \), \( du = dx \):
   \[
   \int u^{1/2} du = \frac{2}{3} u^{3/2} = \frac{2}{3} (x - 1)^{3/2}
   \]

Entonces, la integral completa se expresa como:

\[
\left[\frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} \right]_{1}^{4} - \left[\frac{2}{3} (x - 1)^{3/2}\right]_{1}^{4}
\]

Calculando en los límites de integración:

Para \(x = 4\) y \(x = 1\):

- \( \frac{4^2}{4} + \frac{4}{2} - \left( \frac{1^2}{4} + \frac{1}{2} \right) \)
- \( \frac{2}{3}[(4-1)^{3/2} - 0] = \frac{2}{3} \cdot 3^{3/2} = 2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\)

Finalmente:

\[
\text{Área} = \left(\frac{16}{4} + 2 - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{2 \times 9\sqrt{3}}{3} - 0\right) = 4
\]

Por lo tanto, la opción correcta es **a**.

---

¿Te gustaría alguna explicación adicional o detalles sobre cómo se resolvió el problema?

### Preguntas Relacionadas
1. ¿Cómo se determinan los puntos de intersección de dos curvas algebraicas?
2. ¿Cuál es el método más eficiente para calcular integrales definidas?
3. ¿Cómo se puede verificar la exactitud de una integral calculada manualmente?
4. ¿Qué sucede si el área encerrada se extiende a regiones donde las funciones se cruzan?
5. ¿Cómo influye la simetría en la simplificación de cálculos de áreas?

### Tip
Recuerda siempre verificar los puntos de intersección y realizar un boceto rápido para asegurar que estás integrando en la región correcta.

El área de la región encerrada por las dos curvas de la Gráfica 1, con diferencial en x, viene representada por:

This problem involves finding the area enclosed between two curves using definite integrals. The solution includes identifying the points of intersection and setting up the integral to compute the area.

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