Dada la función

 q(s) = (16 s-4) \cos(2s)


¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?




La función Q(s) = 8s sen(2s) - 4 cos(2s) + 5, es una antiderivada de q.

Si Q es una antiderivada de q tal que Q(0) = 4, entonces Q(π ) = Q(0).

Si Q es una antiderivada de q tal que Q(0) = 4, entonces Q(s) - 4 cos(2s) tiende a -∞ para s que tiende a ∞.

La integral definida entre  π y 2π de q es 8.

Vamos a analizar cada afirmación usando la función dada \( q(s) = (16s - 4) \cos(2s) \).

### 1. **Afirmación 1:** 
"La función \( Q(s) = 8s \sin(2s) - 4 \cos(2s) + 5 \) es una antiderivada de \( q(s) \)".

Para verificar esto, derivemos \( Q(s) \) y comprobemos si su derivada es igual a \( q(s) \).

\[
Q(s) = 8s \sin(2s) - 4 \cos(2s) + 5
\]

Utilizando la regla del producto y las derivadas de las funciones trigonométricas:

- La derivada de \( 8s \sin(2s) \) es \( 8 \sin(2s) + 16s \cos(2s) \).
- La derivada de \( -4 \cos(2s) \) es \( 8 \sin(2s) \).

Entonces, la derivada de \( Q(s) \) es:

\[
Q'(s) = (8 \sin(2s) + 16s \cos(2s)) + 8 \sin(2s) = 16s \cos(2s) - 4 \cos(2s)
\]

Esto es exactamente \( q(s) = (16s - 4) \cos(2s) \), por lo tanto, **la primera afirmación es correcta**.

### 2. **Afirmación 2:**
"Si \( Q \) es una antiderivada de \( q \) tal que \( Q(0) = 4 \), entonces \( Q(\pi) = Q(0) \)".

Para verificar esta afirmación, calculemos \( Q(\pi) \) y comparemos con \( Q(0) \). Utilizando la antiderivada que ya tenemos \( Q(s) = 8s \sin(2s) - 4 \cos(2s) + C \), y dado que \( Q(0) = 4 \), podemos determinar \( C \).

Primero, evaluemos en \( s = 0 \):

\[
Q(0) = 8(0) \sin(0) - 4 \cos(0) + C = -4 + C = 4 \implies C = 8
\]

Por lo tanto, la función antiderivada es:

\[
Q(s) = 8s \sin(2s) - 4 \cos(2s) + 8
\]

Ahora evaluamos \( Q(\pi) \):

\[
Q(\pi) = 8\pi \sin(2\pi) - 4 \cos(2\pi) + 8 = 0 - 4 + 8 = 4
\]

Esto muestra que \( Q(\pi) = Q(0) \), por lo que **la segunda afirmación es correcta**.

### 3. **Afirmación 3:**
"Si \( Q \) es una antiderivada de \( q \) tal que \( Q(0) = 4 \), entonces \( Q(s) - 4 \cos(2s) \) tiende a \( -\infty \) cuando \( s \) tiende a \( \infty \)".

Consideremos el comportamiento de \( Q(s) - 4 \cos(2s) = 8s \sin(2s) + 8 \). La parte dominante cuando \( s \to \infty \) es \( 8s \sin(2s) \), pero dado que \( \sin(2s) \) oscila entre -1 y 1, la función oscilante \( 8s \sin(2s) \) no tiene un límite definido, sino que oscila entre valores muy grandes positivos y negativos. Por lo tanto, **la tercera afirmación es incorrecta**, ya que la función no tiende a \( -\infty \).

### 4. **Afirmación 4:**
"La integral definida entre \( \pi \) y \( 2\pi \) de \( q(s) \) es 8".

Calculemos la integral:

\[
\int_{\pi}^{2\pi} q(s) \, ds = \int_{\pi}^{2\pi} (16s - 4) \cos(2s) \, ds
\]

Dado que ya conocemos una antiderivada de \( q(s) \), podemos usarla para evaluar la integral. La antiderivada es \( Q(s) = 8s \sin(2s) - 4 \cos(2s) + 8 \), por lo que:

\[
\int_{\pi}^{2\pi} q(s) \, ds = Q(2\pi) - Q(\pi)
\]

Sabemos que \( Q(2\pi) = 4 \) y \( Q(\pi) = 4 \), entonces:

\[
\int_{\pi}^{2\pi} q(s) \, ds = 4 - 4 = 0
\]

Por lo tanto, **la cuarta afirmación es incorrecta**, ya que el valor de la integral es 0, no 8.

### Conclusión:

Las afirmaciones correctas son la **primera** y la **segunda**.

---

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para profundizar:

1. ¿Cómo se puede derivar funciones trigonométricas con coeficientes variables?
2. ¿Por qué la función \( 8s \sin(2s) \) no tiende a un valor finito en el infinito?
3. ¿Cómo se evalúa una integral definida usando una antiderivada?
4. ¿Qué significa que una función sea oscilante?
5. ¿Cuáles son las propiedades de las integrales con límites en funciones trigonométricas?

**Tip:** Cuando evalúas integrales definidas usando antiderivadas, no olvides aplicar el teorema fundamental del cálculo para simplificar el proceso.

Dada la función q(s) = (16s - 4) \cos(2s), ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? La función Q(s) = 8s \sin(2s) - 4 \cos(2s) + 5 es una antiderivada de q. Si Q es una antiderivada de q tal que Q(0) = 4, entonces Q(π) = Q(0). Si Q es una antiderivada de q tal que Q(0) = 4, entonces Q(s) - 4 \cos(2s) tiende a -∞ para s que tiende a ∞. La integral definida entre π y 2π de q es 8.

Solve the problem of determining correct statements about the function q(s) = (16s - 4) cos(2s) and its antiderivatives. This includes verifying integrals, applying the Fundamental Theorem of Calculus, and checking limits of oscillatory functions. Suitable for college-level students.

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