Si 𝑎 = (−2; √12) y 𝑏⃗ = (−3; √3), calcula el
ángulo formado por los vectores 𝑎 y 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏⃗ ⊥𝑎 .

Para resolver este problema, primero necesitamos entender que debemos calcular el ángulo entre el vector \( a \) y la proyección ortogonal de \( b \) sobre \( a \). Aquí están los pasos necesarios para encontrar el ángulo:

### Paso 1: Definir los vectores
Los vectores dados son:
- \( a = (-2, \sqrt{12}) \)
- \( b = (-3, \sqrt{3}) \)

### Paso 2: Proyección ortogonal de \( b \) sobre \( a \)
La proyección ortogonal de un vector \( b \) sobre \( a \) se define como:

\[
\text{Proy}_{a}(b) = \frac{b \cdot a}{a \cdot a} a
\]

Donde \( b \cdot a \) es el producto punto entre \( b \) y \( a \), y \( a \cdot a \) es el producto punto de \( a \) consigo mismo.

#### Producto punto \( b \cdot a \)
El producto punto entre dos vectores \( b = (b_1, b_2) \) y \( a = (a_1, a_2) \) se calcula como:

\[
b \cdot a = b_1 \cdot a_1 + b_2 \cdot a_2
\]

Para nuestros vectores:
\[
b \cdot a = (-3)(-2) + (\sqrt{3})(\sqrt{12})
\]
\[
b \cdot a = 6 + \sqrt{36} = 6 + 6 = 12
\]

#### Producto punto \( a \cdot a \)
El producto punto de \( a \) consigo mismo es:

\[
a \cdot a = (-2)^2 + (\sqrt{12})^2 = 4 + 12 = 16
\]

#### Proyección de \( b \) sobre \( a \)
Ahora, la proyección de \( b \) sobre \( a \) es:

\[
\text{Proy}_{a}(b) = \frac{12}{16} a = \frac{3}{4} a
\]

Multiplicamos el vector \( a = (-2, \sqrt{12}) \) por \( \frac{3}{4} \):

\[
\text{Proy}_{a}(b) = \left(\frac{3}{4} \cdot -2, \frac{3}{4} \cdot \sqrt{12}\right)
\]
\[
\text{Proy}_{a}(b) = \left(-\frac{6}{4}, \frac{3 \cdot \sqrt{12}}{4}\right) = \left(-1.5, \frac{3\sqrt{12}}{4}\right)
\]
\[
\text{Proy}_{a}(b) = (-1.5, 2.598)
\]

### Paso 3: Calcular el ángulo entre \( a \) y la proyección
El ángulo entre dos vectores \( a \) y \( p = \text{Proy}_{a}(b) \) se puede calcular usando la fórmula del coseno del ángulo:

\[
\cos(\theta) = \frac{a \cdot p}{|a||p|}
\]

Donde:
- \( a \cdot p \) es el producto punto entre \( a \) y \( p \),
- \( |a| \) y \( |p| \) son las magnitudes de los vectores.

Vamos a proceder con estos cálculos.

#### Producto punto \( a \cdot p \)
\[
a \cdot p = (-2)(-1.5) + (\sqrt{12})(2.598) = 3 + 9 = 12
\]

#### Magnitudes \( |a| \) y \( |p| \)
\[
|a| = \sqrt{(-2)^2 + (\sqrt{12})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4
\]
\[
|p| = \sqrt{(-1.5)^2 + (2.598)^2} = \sqrt{2.25 + 6.75} = \sqrt{9} = 3
\]

#### Cálculo del coseno
Ahora podemos calcular el coseno del ángulo:

\[
\cos(\theta) = \frac{12}{4 \cdot 3} = \frac{12}{12} = 1
\]

Esto significa que \( \theta = \cos^{-1}(1) \), lo que nos da:

\[
\theta = 0^\circ
\]

Por lo tanto, el ángulo entre el vector \( a \) y la proyección ortogonal de \( b \) sobre \( a \) es **0 grados**. Esto tiene sentido, ya que la proyección ortogonal siempre está alineada con el vector sobre el que se proyecta.

---

¿Te gustaría una explicación más detallada de algún paso? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se define el producto punto entre dos vectores?
2. ¿Qué son las proyecciones ortogonales en el contexto de vectores?
3. ¿Qué propiedades tiene el coseno del ángulo entre dos vectores?
4. ¿Cómo se calculan las magnitudes de los vectores?
5. ¿Cómo se interpretan ángulos entre vectores en el espacio geométrico?

**Tip:** La proyección ortogonal de un vector sobre otro siempre es paralela al vector sobre el que se proyecta.

Si 𝑎 = (−2; √12) y 𝑏⃗ = (−3; √3), calcula el ángulo formado por los vectores 𝑎 y 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏⃗ ⊥𝑎.

This solution explains how to calculate the angle between the vector a = (-2, √12) and the orthogonal projection of b = (-3, √3) on a. Key steps include calculating the dot product, finding the orthogonal projection, and using the cosine formula to determine the angle. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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