Parece que hubo un error en la expresión proporcionada inicialmente. Si la función de costo total \( C(x) \) es:

\[
C(x) = 300 + \frac{70}{x} + \frac{x^2}{6}
\]

Vamos a resolver cada parte de la pregunta usando esta función corregida.

### a) Función de costo marginal
El costo marginal \( C'(x) \) se obtiene derivando \( C(x) \) con respecto a \( x \):

\[
C'(x) = \frac{d}{dx} \left( 300 + \frac{70}{x} + \frac{x^2}{6} \right)
\]

Derivando cada término:

\[
C'(x) = 0 - \frac{70}{x^2} + \frac{2x}{6}
\]

Simplificando:

\[
C'(x) = -\frac{70}{x^2} + \frac{x}{3}
\]

Entonces, la función de costo marginal es:

\[
C'(x) = -\frac{70}{x^2} + \frac{x}{3}
\]

### b) Costo marginal cuando \( x = 20 \)
Sustituyendo \( x = 20 \) en la función de costo marginal:

\[
C'(20) = -\frac{70}{20^2} + \frac{20}{3} = -\frac{70}{400} + \frac{20}{3}
\]
\[
C'(20) = -0.175 + 6.67 \approx 6.495 \text{ miles de pesos}
\]

Entonces, el costo marginal cuando se fabrican 20 unidades es de aproximadamente 6.495 miles de pesos.

### c) Costo real por la fabricación de la veintiunava unidad
Para encontrar el costo real de la veintiunava unidad, calculamos:

\[
C(21) = 300 + \frac{70}{21} + \frac{21^2}{6}
\]
\[
C(21) = 300 + \frac{70}{21} + \frac{441}{6} \approx 300 + 3.33 + 73.5 \approx 376.83
\]

\[
C(20) = 300 + \frac{70}{20} + \frac{20^2}{6}
\]
\[
C(20) = 300 + 3.5 + 66.67 \approx 370.17
\]

Entonces, el costo real de fabricar la veintiunava unidad es:

\[
C(21) - C(20) \approx 376.83 - 370.17 = 6.66 \text{ miles de pesos}
\]

### d) Datos para graficar en Excel
Podemos generar valores de \( x \) y calcular \( C(x) \) y \( C'(x) \):

| \( x \) | \( C(x) \)  | \( C'(x) \) |
|--------|-------------|-------------|
| 10     | 375.33      | 3.495       |
| 15     | 372.89      | 5.162       |
| 20     | 370.17      | 6.495       |
| 25     | 368.04      | 7.602       |
| 30     | 366.39      | 8.55        |
| 35     | 365.13      | 9.379       |

Estos datos se pueden utilizar para graficar en Excel.

---

¿Quieres más detalles o tienes alguna otra pregunta?

### 8 Preguntas Relativas:
1. ¿Cómo afecta la reducción del costo marginal cuando aumenta \( x \)?
2. ¿Qué significaría un costo marginal negativo?
3. ¿Por qué el costo marginal disminuye conforme \( x \) aumenta en este modelo?
4. ¿Cómo se podría interpretar el término \( \frac{70}{x} \) en el contexto empresarial?
5. ¿Qué impacto tendría en los costos si \( C(x) \) no incluyera el término \( \frac{70}{x} \)?
6. ¿Cómo se modificarían los cálculos si \( x = 0 \) no fuera válido?
7. ¿Qué representa el costo fijo en esta función de costo total?
8. ¿Cómo se relaciona el costo marginal con la optimización de la producción?

### Tip:
El análisis del costo marginal es clave para determinar la eficiencia de producción y ajustar la estrategia para maximizar las ganancias o minimizar los costos.

Explore the detailed analysis of cost functions and marginal costs using mathematical formulas. Includes calculations for cost functions C(x) and marginal costs C'(x), with specific examples and insights. Learn how to apply calculus in economics and business scenarios.

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