analiza la continuidad de la función: 	f\ \left(x,y\right)=sen\ xy

La función que nos interesa analizar es \( f(x, y) = \sin(xy) \). Vamos a investigar su continuidad en dos pasos:

### 1. Definición de continuidad

Una función de varias variables es continua en un punto \( (a, b) \) si:

\[
\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) = f(a, b)
\]

y ambos, el límite y el valor de la función en \( (a, b) \), existen. Dicho de otra forma, una función es continua en un punto si el valor de la función en ese punto coincide con el valor del límite al acercarse a ese punto desde cualquier dirección.

### 2. Análisis de la función

La función \( f(x, y) = \sin(xy) \) es la composición de las funciones \( xy \) (multiplicación de \( x \) e \( y \)) y \( \sin(t) \), que es una función trigonométrica. Sabemos que:

- El seno es continuo en todos los puntos de \( \mathbb{R} \) (la función seno es continua en todo su dominio).
- El producto de dos funciones continuas también es continuo.

Por lo tanto, el producto \( xy \) es continuo en todo \( \mathbb{R}^2 \), y como \( \sin(t) \) es continua en todo \( \mathbb{R} \), la composición \( \sin(xy) \) también será continua en todo \( \mathbb{R}^2 \).

### 3. Conclusión

La función \( f(x, y) = \sin(xy) \) es **continua en todo \( \mathbb{R}^2 \)**, ya que es la composición de funciones continuas.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo puedo verificar la continuidad de funciones más complicadas?
2. ¿Qué sucede si la función no está definida en un punto? ¿Es posible que siga siendo continua en otros puntos?
3. ¿Cómo afecta la discontinuidad de una función dentro de su dominio?
4. ¿Qué relación tiene la diferenciabilidad con la continuidad de una función?
5. ¿Qué técnicas hay para evaluar límites en funciones de varias variables?

### Tip:
Siempre que evalúes la continuidad de una función compuesta, verifica primero la continuidad de cada una de las funciones componentes.

analiza la continuidad de la función: f(x,y)=sen(xy)

Este artículo analiza la continuidad de la función f(x,y)=sen(xy), explorando conceptos clave como la continuidad en funciones de varias variables, funciones trigonométricas, y la composición de funciones continuas. Adecuado para estudiantes de matemáticas a nivel universitario.

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