de acuerdo con el tema: la Inferencia estadística, intervalos de confianza y pruebas de hipótesis. 
resuelve el siguiente problema:
2.	Se somete a prueba a todos los integrantes del magisterio de enseñanza básica (primaria) de un país. Un experto en educación afirma que el promedio de la calificación, sobre una base de 100, fue de 76. Un representante del alto gobierno pone en duda dicha afirmación, por lo cual se toma una muestra aleatoria de 400 maestros cuya media fue de 74 con desviación estándar de 16. Comprueba dicha afirmación con una prueba de hipótesis y un nivel de significancia del 1%.

Para resolver este problema, seguiremos los pasos clásicos de una prueba de hipótesis. Vamos a formular las hipótesis, calcular el estadístico de prueba, y luego comparar este valor con el valor crítico correspondiente para tomar una decisión.

### Paso 1: Formular las hipótesis

- **Hipótesis nula (\(H_0\))**: El promedio de la calificación es 76, es decir, \( \mu = 76 \).
- **Hipótesis alternativa (\(H_1\))**: El promedio de la calificación es diferente de 76, es decir, \( \mu \neq 76 \).

### Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia

El nivel de significancia dado es \( \alpha = 0.01 \) (1%).

### Paso 3: Estadístico de prueba

Dado que la desviación estándar poblacional no se menciona, usaremos la desviación estándar de la muestra como estimación. El estadístico de prueba se calculará usando la fórmula del estadístico \( Z \) para la media:

\[
Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}
\]

donde:
- \( \bar{X} \) es la media muestral (\( \bar{X} = 74 \)),
- \( \mu_0 \) es la media poblacional bajo \( H_0 \) (\( \mu_0 = 76 \)),
- \( \sigma \) es la desviación estándar muestral (\( \sigma = 16 \)),
- \( n \) es el tamaño de la muestra (\( n = 400 \)).

Sustituyendo los valores:

\[
Z = \frac{74 - 76}{\frac{16}{\sqrt{400}}} = \frac{-2}{\frac{16}{20}} = \frac{-2}{0.8} = -2.5
\]

### Paso 4: Determinar el valor crítico

Como estamos realizando una prueba bilateral con \( \alpha = 0.01 \), debemos buscar los valores críticos de \( Z \) para \( \alpha/2 = 0.005 \) en cada cola. De una tabla de la distribución normal estándar, los valores críticos son:

\[
Z_{\alpha/2} = \pm 2.5758
\]

### Paso 5: Toma de decisión

Comparamos el valor calculado de \( Z \) con los valores críticos:

- Si \( Z < -2.5758 \) o \( Z > 2.5758 \), rechazamos \( H_0 \).
- Si \( -2.5758 \leq Z \leq 2.5758 \), no rechazamos \( H_0 \).

En este caso, \( Z = -2.5 \) no cae en la región de rechazo (\(-2.5758 < -2.5 < 2.5758\)).

### Paso 6: Conclusión

No rechazamos la hipótesis nula \( H_0 \) al nivel de significancia del 1%. Esto significa que no hay suficiente evidencia para rechazar la afirmación del experto en educación de que la calificación promedio es 76.

---

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

**5 Preguntas Relativas:**
1. ¿Cómo afecta el tamaño de la muestra a la precisión de la prueba de hipótesis?
2. ¿Qué sucede si se cambia el nivel de significancia de 1% a 5%?
3. ¿Qué es la región de rechazo en una prueba de hipótesis y cómo se determina?
4. ¿Cómo se interpreta el valor de \( Z \) en relación con la media poblacional?
5. ¿Cuál es la diferencia entre una prueba de una cola y una prueba de dos colas?

**Tip:** En pruebas de hipótesis, un nivel de significancia más bajo reduce la probabilidad de cometer un error de Tipo I (rechazar una hipótesis nula verdadera).

Learn how to conduct a hypothesis test on the average grades of primary education teachers. Use a sample mean of 74 with a standard deviation of 16 from 400 teachers to test the claim of an education expert that the average grade is 76. Detailed steps include formulating hypotheses, calculating the Z-statistic, determining critical values, and interpreting the results.

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