Para cada item abaixo, verifique se o conjunto B é um subespaço gerado do espaço vetorial V.

B={(-1,-1,0), (1,0,1), (0,-1,1), (1,1,-1)}, onde V=R3

Resposta 1 Questão 1
B é LI
B={(-1,-1,0), (1,0,1), (0,-1,1) }, onde V=R3

Resposta 2 Questão 1
B é LD
B={(-1,-1,0), (1,0,1), (0,-1,0)}, onde V=R3

Resposta 3 Questão 1
B é LD
B={(-2,1,0), (1,1,-1)}, onde V=R3

Resposta 4 Questão 1
B é LI
B={(-2,1,0,2), (2,1,-3,0), (0,0,0,1}, onde V=R4

Resposta 5 Questão 1
B é LI
B={(-2,1), (3,5)}, onde V=R2

Resposta 6 Questão 1
B é LD
B={(-2,1), (3,5),(1,1)}, onde V=R2

Resposta 7 Questão 1
B é LD
conferir respostas

Vamos analisar cada item para verificar se o conjunto \( B \) é um subespaço gerado do espaço vetorial \( V \), levando em consideração se \( B \) é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). A verificação da linearidade e do fato de \( B \) ser um subespaço gerado depende do número de vetores e da dimensão do espaço vetorial \( V \).

### Resposta 1
**B é LI**  
Conjunto: \( B = \{(-1,-1,0), (1,0,1), (0,-1,1)\} \), onde \( V = \mathbb{R}^3 \).

- **Análise**: O conjunto \( B \) possui 3 vetores em \( \mathbb{R}^3 \). Para verificar se é LI, podemos verificar se a combinação linear desses vetores é igual ao vetor nulo apenas quando os coeficientes são todos nulos. Como há três vetores, podemos formar a matriz e calcular o determinante.
  
  \[
  \text{Matriz: } \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
  \]
  
  O determinante desta matriz é \( \text{det} = (-1)(0)(1) + (-1)(1)(0) + (0)(-1)(1) - (0)(0)(-1) - (1)(-1)(1) - (1)(-1)(0) = 2 \). Como o determinante é diferente de zero, \( B \) é LI.
  
  - **Conclusão**: Correto, \( B \) é LI e pode gerar \( V = \mathbb{R}^3 \).

### Resposta 2
**B é LD**  
Conjunto: \( B = \{(-1,-1,0), (1,0,1), (0,-1,0)\} \), onde \( V = \mathbb{R}^3 \).

- **Análise**: O conjunto \( B \) também possui 3 vetores em \( \mathbb{R}^3 \). Podemos verificar a linearidade usando uma matriz:
  
  \[
  \text{Matriz: } \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
  \]
  
  Determinante: \( \text{det} = (-1)(0)(0) + (-1)(1)(0) + (0)(-1)(1) - (0)(0)(-1) - (1)(-1)(0) - (1)(-1)(0) = 0 \). Como o determinante é zero, \( B \) é LD.
  
  - **Conclusão**: Correto, \( B \) é LD e não gera todo \( V = \mathbb{R}^3 \).

### Resposta 3
**B é LD**  
Conjunto: \( B = \{(-2,1,0), (1,1,-1)\} \), onde \( V = \mathbb{R}^3 \).

- **Análise**: Este conjunto possui 2 vetores em \( \mathbb{R}^3 \). Eles não podem gerar \( \mathbb{R}^3 \) completamente, pois são menos vetores do que a dimensão do espaço.
  
  - **Conclusão**: Correto, \( B \) é LD e não pode gerar \( V = \mathbb{R}^3 \).

### Resposta 4
**B é LI**  
Conjunto: \( B = \{(-2,1,0,2), (2,1,-3,0), (0,0,0,1)\} \), onde \( V = \mathbb{R}^4 \).

- **Análise**: Este conjunto tem 3 vetores em \( \mathbb{R}^4 \). Com isso, \( B \) pode ser LI, mas não pode gerar \( \mathbb{R}^4 \), já que para isso seriam necessários 4 vetores.
  
  - **Conclusão**: Errado, mesmo que \( B \) seja LI, não pode gerar \( V = \mathbb{R}^4 \).

### Resposta 5
**B é LI**  
Conjunto: \( B = \{(-2,1), (3,5)\} \), onde \( V = \mathbb{R}^2 \).

- **Análise**: O conjunto possui 2 vetores em \( \mathbb{R}^2 \). Como existem dois vetores e ambos são LI, o conjunto pode gerar \( \mathbb{R}^2 \).
  
  - **Conclusão**: Correto, \( B \) é LI e gera \( V = \mathbb{R}^2 \).

### Resposta 6
**B é LD**  
Conjunto: \( B = \{(-2,1), (3,5), (1,1)\} \), onde \( V = \mathbb{R}^2 \).

- **Análise**: O conjunto possui 3 vetores em \( \mathbb{R}^2 \). Como o número de vetores excede a dimensão do espaço, \( B \) é automaticamente LD.
  
  - **Conclusão**: Correto, \( B \) é LD.

### Resposta 7
**Conferir respostas**  
Análise correta dos itens anteriores, com exceção do item 4, onde houve um erro de interpretação.

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Deseja mais detalhes sobre alguma das respostas ou tem outras perguntas? Aqui estão 5 perguntas relacionadas que podem ser interessantes:

1. Como calcular o determinante de uma matriz \(3 \times 3\) para verificar a linearidade de vetores?
2. O que significa um conjunto ser linearmente dependente ou independente em termos geométricos?
3. Como determinar se um conjunto de vetores pode gerar um espaço vetorial específico?
4. Qual é a relação entre a quantidade de vetores e a dimensão do espaço vetorial em relação à independência linear?
5. Como simplificar a análise de dependência e independência linear em espaços vetoriais de dimensões maiores?

**Dica**: Sempre verifique a dimensão do espaço vetorial antes de determinar a dependência ou independência linear de um conjunto de vetores!

Explore the verification process of whether a set B is a generated subspace of vector space V. Detailed analysis includes determining linear independence and dependence, using determinant calculations for matrices, and understanding the implications for vector space dimensions.

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