Para cada item abaixo, verifique se o conjunto B é um conjunto linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).

B={(-3,1,0), (2,1,-1)}, onde V=R3

Resposta 1 Questão 1

B={(1,1,0), (1,0,1), (2,1,1)}, onde V=R3

Resposta 2 Questão 1

B={(-3,1), (2,5)}, onde V=R2

Resposta 3 Questão 1

B={(-3,1), (2,5), (1,1)}, onde V=R2

Resposta 4 Questão 1

B={(-3,1,0,2), (2,5,-3,0), (0,0,0,1}, onde V=R4

Resposta 5 Questão 1

B={(1,1,0), (1,0,1), (2,1,1), (-1,-1,1)}, onde V=R3

Resposta 6 Questão 1

B={(1,1,0), (1,0,1), (0,-1,0)}, onde V=R3

Vamos verificar se cada um dos conjuntos \( B \) indicados é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).

### Resposta 1
**Conjunto:** \( B = \{(1,1,0), (1,0,1), (2,1,1)\} \) em \( \mathbb{R}^3 \)

Verificamos a combinação linear:

\[
\alpha_1(1, 1, 0) + \alpha_2(1, 0, 1) + \alpha_3(2, 1, 1) = (0, 0, 0)
\]

Isso resulta no sistema de equações lineares:

\[
\begin{cases}
\alpha_1 + \alpha_2 + 2\alpha_3 = 0 \\
\alpha_1 + \alpha_3 = 0 \\
\alpha_2 + \alpha_3 = 0
\end{cases}
\]

O sistema tem solução única \( \alpha_1 = 0 \), \( \alpha_2 = 0 \), \( \alpha_3 = 0 \). Portanto, \( B \) é **LI**.

### Resposta 2
**Conjunto:** \( B = \{(-3,1), (2,5)\} \) em \( \mathbb{R}^2 \)

Verificamos a combinação linear:

\[
\alpha_1(-3, 1) + \alpha_2(2, 5) = (0, 0)
\]

Isso resulta no sistema de equações:

\[
\begin{cases}
-3\alpha_1 + 2\alpha_2 = 0 \\
\alpha_1 + 5\alpha_2 = 0
\end{cases}
\]

A única solução é \( \alpha_1 = 0 \), \( \alpha_2 = 0 \). Portanto, \( B \) é **LI**.

### Resposta 3
**Conjunto:** \( B = \{(-3,1), (2,5), (1,1)\} \) em \( \mathbb{R}^2 \)

Este conjunto tem três vetores em \( \mathbb{R}^2 \), mas a dimensão do espaço é 2. Quando o número de vetores excede a dimensão do espaço, os vetores são automaticamente linearmente dependentes (LD).

Portanto, \( B \) é **LD**.

### Resposta 4
**Conjunto:** \( B = \{(-3,1,0,2), (2,5,-3,0), (0,0,0,1)\} \) em \( \mathbb{R}^4 \)

Verificamos a combinação linear:

\[
\alpha_1(-3, 1, 0, 2) + \alpha_2(2, 5, -3, 0) + \alpha_3(0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0)
\]

O sistema tem solução única \( \alpha_1 = 0 \), \( \alpha_2 = 0 \), \( \alpha_3 = 0 \). Portanto, \( B \) é **LI**.

### Resposta 5
**Conjunto:** \( B = \{(1,1,0), (1,0,1), (2,1,1), (-1,-1,1)\} \) em \( \mathbb{R}^3 \)

Aqui temos quatro vetores em \( \mathbb{R}^3 \). Como a dimensão do espaço é 3, e temos 4 vetores, eles são automaticamente linearmente dependentes.

Portanto, \( B \) é **LD**.

### Resposta 6
**Conjunto:** \( B = \{(1,1,0), (1,0,1), (0,-1,0)\} \) em \( \mathbb{R}^3 \)

Verificamos a combinação linear:

\[
\alpha_1(1, 1, 0) + \alpha_2(1, 0, 1) + \alpha_3(0, -1, 0) = (0, 0, 0)
\]

Isso resulta no sistema de equações:

\[
\begin{cases}
\alpha_1 + \alpha_2 = 0 \\
\alpha_1 - \alpha_3 = 0 \\
\alpha_2 = 0
\end{cases}
\]

Esse sistema tem como solução \( \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 0 \). Portanto, \( B \) é **LI**.

### Resumo das respostas verificadas:

1. **Resposta 1**: \( B \) é **LI**.
2. **Resposta 2**: \( B \) é **LI**.
3. **Resposta 3**: \( B \) é **LD**.
4. **Resposta 4**: \( B \) é **LI**.
5. **Resposta 5**: \( B \) é **LD**.
6. **Resposta 6**: \( B \) é **LI**.

Gostaria de mais detalhes sobre algum desses resultados ou tem mais alguma dúvida? Aqui estão cinco perguntas que podem expandir o entendimento:

1. Como a relação entre o número de vetores e a dimensão do espaço vetorial afeta a independência linear?
2. Como é possível determinar a independência linear usando determinantes em \( \mathbb{R}^n \)?
3. Em que situações práticas na ciência ou na engenharia a independência linear é importante?
4. Como a mudança de base em um espaço vetorial pode afetar a independência linear de um conjunto de vetores?
5. Qual é o papel da combinação linear na definição de subespaços vetoriais?

**Dica**: Quando o número de vetores é maior do que a dimensão do espaço, o conjunto é sempre linearmente dependente.

Explore how to determine if a set of vectors in different dimensions is linearly independent or dependent. This mathematical analysis covers vector spaces in \( \mathbb{R}^2 \), \( \mathbb{R}^3 \), and \( \mathbb{R}^4 \).

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