ABCDEFGHestunpavédroitdecentreO.
 1 Faireunefigure.
 2 Montrerqu’ilexistedeuxnombresréelsaetbtelsqueOB=aAE+bFH.
 3 Quepeut-onendéduireconcernantcesvecteurs?
 4 MontrerquelespointsH,F,BetOsontcoplanaires

### 1. Faire une figure

Pour commencer, faisons une description de la figure. Imaginez un pavé droit (parallélépipède rectangle), où les sommets sont nommés \( A \), \( B \), \( C \), \( D \), \( E \), \( F \), \( G \), et \( H \). Le centre du pavé droit est \( O \). Les sommets \( A \), \( B \), \( C \), et \( D \) sont sur la face inférieure, tandis que \( E \), \( F \), \( G \), et \( H \) sont sur la face supérieure.

- \( A \) est directement en dessous de \( E \), \( B \) en dessous de \( F \), \( C \) en dessous de \( G \), et \( D \) en dessous de \( H \).
- Les segments \( AE \), \( BF \), \( CG \), et \( DH \) sont verticaux.
- Les segments \( AB \), \( BC \), \( CD \), et \( DA \) sont horizontaux et forment la base inférieure du pavé.
- De même, les segments \( EF \), \( FG \), \( GH \), et \( HE \) forment la base supérieure.

Je vous propose de dessiner cette figure sur papier en suivant ces descriptions. Si vous avez besoin d'une visualisation générée, je peux vous fournir cela aussi.

### 2. Montrer qu'il existe deux nombres réels \( a \) et \( b \) tels que \( \overrightarrow{OB} = a\overrightarrow{AE} + b\overrightarrow{FH} \).

Pour exprimer \( \overrightarrow{OB} \) comme une combinaison linéaire de \( \overrightarrow{AE} \) et \( \overrightarrow{FH} \), nous devons identifier deux réels \( a \) et \( b \) tels que :
\[
\overrightarrow{OB} = a\overrightarrow{AE} + b\overrightarrow{FH}
\]

**Étape 1 :** Analysons les vecteurs :
- \( \overrightarrow{AE} \) est un vecteur qui relie le point \( A \) au point \( E \).
- \( \overrightarrow{FH} \) est un vecteur qui relie le point \( F \) au point \( H \).
- \( \overrightarrow{OB} \) est un vecteur qui relie le centre \( O \) au sommet \( B \).

**Étape 2 :** Supposons que les coordonnées de \( A \), \( B \), \( E \), \( F \), et \( H \) soient connues. Ensuite, exprimez \( \overrightarrow{OB} \) en fonction des vecteurs de base. Cela vous permettrait d'écrire \( \overrightarrow{OB} \) comme une combinaison linéaire des vecteurs \( \overrightarrow{AE} \) et \( \overrightarrow{FH} \).

### 3. Que peut-on en déduire concernant ces vecteurs ?

Le fait qu'il existe des scalaires \( a \) et \( b \) tels que \( \overrightarrow{OB} = a\overrightarrow{AE} + b\overrightarrow{FH} \) implique que les vecteurs \( \overrightarrow{OB} \), \( \overrightarrow{AE} \), et \( \overrightarrow{FH} \) sont coplanaires. Cela signifie qu'ils résident dans le même plan.

### 4. Montrer que les points \( H \), \( F \), \( B \) et \( O \) sont coplanaires

Pour montrer que les points \( H \), \( F \), \( B \), et \( O \) sont coplanaires, il suffit de vérifier que les vecteurs \( \overrightarrow{HF} \), \( \overrightarrow{HB} \), et \( \overrightarrow{HO} \) sont coplanaires.

- Un moyen classique de vérifier cela est de vérifier si le produit mixte \( [ \overrightarrow{HF}, \overrightarrow{HB}, \overrightarrow{HO} ] \) est nul.
- Si le produit mixte est nul, alors les vecteurs sont coplanaires, et donc les points \( H \), \( F \), \( B \), et \( O \) résident dans le même plan.

### Voulez-vous des explications supplémentaires ou des détails sur une partie spécifique ?  
### Questions relatives :
1. Comment calcule-t-on le produit mixte de trois vecteurs ?
2. Qu'est-ce qu'un produit scalaire et comment est-il utilisé pour prouver la coplanarité ?
3. Quelle est la signification géométrique des coefficients \( a \) et \( b \) dans la combinaison linéaire ?
4. Comment généraliser cette méthode pour n'importe quel pavé droit dans l'espace ?
5. Quelle est l'importance des bases vectorielles dans la résolution de ce type de problèmes ?

### Tip :
Lors de la manipulation de vecteurs en trois dimensions, visualiser les vecteurs et leur disposition dans l'espace peut grandement aider à comprendre les relations entre eux.

Explore how to solve problems involving vectors and coplanarity in a parallelepiped structure. Learn about vector addition, scalar multiplication, and the properties of coplanar vectors. Suitable for Grades 10-12.

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