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Pour résoudre cet exercice, il faut comprendre les relations vectorielles données dans le schéma, ainsi que compléter les équations vectorielles. Voici comment procéder étape par étape :

### Analyse du schéma

Le quadrilatère \(ABCD\) est subdivisé par des points (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J) et des segments qui relient ces points. Le but est de compléter les relations vectorielles données avec les points représentés dans le quadrillage.

Chaque question représente une équation vectorielle qu'il faut compléter en identifiant les points et les segments correspondants.

### Explication des relations vectorielles :

- **Vecteurs** : Les lettres comme \( \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{GF}, \overrightarrow{HE}, \ldots \) représentent des vecteurs dans le plan.
- **Addition des vecteurs** : Lorsqu'on additionne les vecteurs, cela revient à les aligner bout à bout. Si deux vecteurs partagent le même point d'origine et de destination, on peut simplifier l'expression.

#### a) \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{HE} = \overrightarrow{E...} \)

On additionne les vecteurs \( \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{GF}, \overrightarrow{HE} \) et on doit obtenir un vecteur ayant pour origine E. Cela signifie que le vecteur résultant a pour destination un point à partir de \(E\). En observant le schéma, on peut voir que le vecteur manquant pourrait être \(EJ\).

Donc, \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{HE} = \overrightarrow{EJ} \).

#### b) \( \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{JC} + \overrightarrow{GH} = \overrightarrow{A...} \)

En additionnant ces trois vecteurs, on doit trouver un vecteur ayant pour origine A. D’après le schéma, il semble que le point manquant soit \(AB\). Donc :

\( \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{JC} + \overrightarrow{GH} = \overrightarrow{AB} \).

#### c) \( \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{FB} = \overrightarrow{I...} \)

Ici, les vecteurs se rejoignent en \(I\), et le vecteur manquant pourrait être \(IA\). Donc, l'équation complétée devient :

\( \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{FB} = \overrightarrow{IA} \).

#### d) \( \overrightarrow{HG} + \overrightarrow{HI} + \overrightarrow{FB} = \overrightarrow{G...} \)

Pour cette équation, les vecteurs aboutissent en \(G\), et le vecteur manquant pourrait être \(GB\). Donc :

\( \overrightarrow{HG} + \overrightarrow{HI} + \overrightarrow{FB} = \overrightarrow{GB} \).

### Récapitulatif des réponses :

a) \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{HE} = \overrightarrow{EJ} \)

b) \( \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{JC} + \overrightarrow{GH} = \overrightarrow{AB} \)

c) \( \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{FB} = \overrightarrow{IA} \)

d) \( \overrightarrow{HG} + \overrightarrow{HI} + \overrightarrow{FB} = \overrightarrow{GB} \)

### Explication additionnelle :

Chaque relation est obtenue en observant les connexions entre les points dans le quadrillage. On additionne les vecteurs reliant les différents points et on essaie d’identifier le vecteur manquant pour compléter l’équation.

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Avez-vous besoin de plus de détails sur une étape particulière ?

Voici quelques questions supplémentaires pour approfondir :

1. Pourquoi est-il important que les vecteurs aient une continuité dans les points reliés ?
2. Comment pourrait-on vérifier ces équations vectorielles en utilisant une méthode graphique ?
3. Quel est le rôle du point \(E\) dans ces relations vectorielles ?
4. Peut-on appliquer une méthode similaire pour d'autres types de quadrillages ?
5. Quels autres concepts de géométrie vectorielle pouvez-vous utiliser pour résoudre ce type de problème ?

**Tip** : Quand vous additionnez des vecteurs, assurez-vous que les points d'origine et de destination sont correctement alignés.

This exercise involves vector addition, where students need to complete the vector equations based on a geometric grid. It covers vector addition concepts and their properties, suitable for Grades 10-12.

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