使用柯西准则判断调和级数的敛散性

柯西准则（Cauchy's Condensation Test）是判断无穷级数敛散性的一种有效方法。其内容如下：

对于一个正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)，若\(a_n\)是单调递减的非负序列，则级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 与 \(\sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n}\) 同敛散。

下面我们用柯西准则判断调和级数的敛散性：

调和级数的定义为：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
\]

应用柯西准则，需要构造新级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n}\)。对于调和级数，我们有 \(a_n = \frac{1}{n}\)。因此，新级数为：

\[
\sum_{n=0}^{\infty} 2^n \cdot \frac{1}{2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} 1
\]

显然，\(\sum_{n=0}^{\infty} 1\) 是一个发散级数（因为每一项都是1，且有无穷多个1相加）。

因此，根据柯西准则，原调和级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) 也是发散的。

### 总结
柯西准则判断调和级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) 是发散的。

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有问题或需要详细解释吗？以下是一些相关的问题供参考：

1. 什么是调和级数？
2. 如何应用柯西准则判断其他类型级数的敛散性？
3. 柯西准则的证明过程是怎样的？
4. 除了柯西准则，还有哪些判断级数敛散性的方法？
5. 什么是单调递减的非负序列？

**提示:** 在使用柯西准则时，确保你的级数是正项单调递减的，否则该准则无法应用。

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