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Vamos a resolver el ejercicio paso por paso. 

### Parte (a): Mostrar que \( p = 0.4 \) y \( q = 0.2 \)

Sabemos que la esperanza matemática \( E(X) = 2 \), y también tenemos la distribución de probabilidad de \( X \), donde \( X \) toma los valores 1, 2, 3 y 4 con probabilidades \( p \), 0.3, \( q \) y 0.1 respectivamente.

La esperanza \( E(X) \) se calcula como:

\[
E(X) = 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) + 3 \cdot P(X = 3) + 4 \cdot P(X = 4)
\]

Sustituyendo los valores conocidos:

\[
E(X) = 1 \cdot p + 2 \cdot 0.3 + 3 \cdot q + 4 \cdot 0.1 = 2
\]

Esto nos da la siguiente ecuación:

\[
p + 0.6 + 3q + 0.4 = 2
\]

Simplificando:

\[
p + 3q + 1 = 2
\]

\[
p + 3q = 1
\]

Ahora, también sabemos que la suma de las probabilidades debe ser igual a 1, es decir:

\[
p + 0.3 + q + 0.1 = 1
\]

Simplificando esta ecuación:

\[
p + q + 0.4 = 1
\]

\[
p + q = 0.6
\]

Tenemos ahora el siguiente sistema de ecuaciones:

\[
p + q = 0.6
\]
\[
p + 3q = 1
\]

Restando la primera ecuación de la segunda:

\[
(p + 3q) - (p + q) = 1 - 0.6
\]

\[
2q = 0.4
\]

\[
q = 0.2
\]

Sustituyendo este valor en la primera ecuación:

\[
p + 0.2 = 0.6
\]

\[
p = 0.4
\]

Por lo tanto, hemos demostrado que \( p = 0.4 \) y \( q = 0.2 \).

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### Parte (b): Hallar \( P(X > 2) \)

La probabilidad de que \( X \) sea mayor que 2 es la suma de las probabilidades de los valores 3 y 4. Es decir:

\[
P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4)
\]

Sabemos que \( P(X = 3) = q = 0.2 \) y \( P(X = 4) = 0.1 \), por lo que:

\[
P(X > 2) = 0.2 + 0.1 = 0.3
\]

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### Parte (c): Probabilidad de que Nicky gane el juego

Nicky necesita obtener una puntuación de al menos 10. Actualmente, después de tres tiradas, su puntuación es 4. Le quedan dos tiradas más y su objetivo es sumar al menos 6 puntos más en esas dos tiradas.

La probabilidad de que en una tirada \( X = 3 \) o \( X = 4 \) es:

\[
P(X = 3 \text{ o } X = 4) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0.2 + 0.1 = 0.3
\]

Vamos a calcular la probabilidad de que Nicky sume al menos 6 puntos en las dos tiradas restantes. Esto se puede calcular considerando los posibles resultados de las dos tiradas restantes:

1. \( X_1 + X_2 = 6 \) (ganar exactamente).
2. \( X_1 + X_2 > 6 \) (ganar superando los 6).

Analicemos y calculemos esas probabilidades.La probabilidad de que Nicky gane el juego, sumando al menos 6 puntos en las dos tiradas restantes, es de aproximadamente **0.12** o un **12%**.

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Si tienes alguna duda o quieres más detalles, házmelo saber.

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para profundizar más en este tema:

1. ¿Cómo afecta la esperanza matemática en una distribución de probabilidad?
2. ¿Cuál es la diferencia entre una distribución de probabilidad uniforme y no uniforme?
3. ¿Cómo se calculan las probabilidades conjuntas en dos eventos independientes?
4. ¿Qué significaría si la varianza de la distribución fuera mayor o menor?
5. ¿Cómo cambia la probabilidad de ganar si el número máximo de tiradas permitidas aumenta?

**Tip**: Cuando calculas probabilidades de eventos independientes, puedes multiplicar las probabilidades individuales de cada evento para obtener la probabilidad conjunta.

Se tira un dado no equilibrado de cuatro caras, rotuladas 1, 2, 3 y 4, y se va anotando el resultado. Sea X el resultado que se obtiene al tirar el dado. En la tabla siguiente se muestra la distribución de probabilidad de X, donde p y q son constantes. Para esta distribución de probabilidad, se sabe que E(X) = 2.

This problem explores the probability distribution and expected value of an unbalanced four-sided dice. It involves solving for unknown probabilities, calculating expected value, and finding the probability of an event occurring.

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