Une urne contient sept boules : une rouge, deux jaunes et quatre vertes. Un
joueur tire au hasard une boule. Si elle est rouge, il gagne 10 e , si elle est
jaune, il perd 5 e, si elle est verte, il tire une deuxième boule de l’urne sans
avoir replacé la première boule tirée. Si cette deuxième boule est rouge, il gagne
8 e, sinon il perd 4 e.
1. Construire un arbre pondéré représentant l’ensemble des éventualités de ce
jeu
2. Soit X la variable aléatoire associant à chaque tirage le gain algébrique du
joueur (une perte est comptée négativement)
a) Établir la loi de probabilité de la variable X
b) Calculer l’espérance de X


### 1. Construction de l'arbre pondéré

#### Étape 1: Première boule tirée

L'urne contient 7 boules : 1 rouge, 2 jaunes et 4 vertes. Le joueur commence par tirer une boule au hasard.

- **Rouge (R)** : Probabilité = \( \frac{1}{7} \). Gain = 10 €.
- **Jaune (J)** : Probabilité = \( \frac{2}{7} \). Perte = 5 €.
- **Verte (V)** : Probabilité = \( \frac{4}{7} \). Si une boule verte est tirée, on tire une deuxième boule.

#### Étape 2: Deuxième boule après avoir tiré une boule verte

Si la première boule est verte, une deuxième boule est tirée sans remettre la première boule dans l'urne, ce qui modifie les probabilités. L'urne contient alors 6 boules : 1 rouge, 2 jaunes, 3 vertes.

- **Rouge (R)** (après avoir tiré une verte) : Probabilité = \( \frac{1}{6} \). Gain = 8 €.
- **Jaune (J)** : Probabilité = \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \). Perte = 4 €.
- **Verte (V)** : Probabilité = \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \). Perte = 4 €.

### Arbre pondéré

Voici un schéma des éventualités et des gains associés :

```
            (7 boules)
             ┃
        ┌────┼────┬─────────┐
        │    │    │         │
     Rouge  Jaune  Verte    (1ère boule)
    (1/7)  (2/7)  (4/7)
    +10€   -5€     ┃
                 (6 boules restantes)
                   ┃
           ┌───────┼───────┬──────────┐
           │       │       │          │
        Rouge     Jaune    Verte     (2e boule après V)
        (1/6)    (1/3)    (1/2)
        +8€      -4€      -4€
```

### 2. Variable aléatoire \( X \)

#### a) Loi de probabilité de \( X \)

La variable \( X \) représente le gain algébrique pour chaque scénario. Calculons les différents cas possibles :

1. **Premier tirage Rouge (R)** : \( X = 10 \) €, avec probabilité \( P(X = 10) = \frac{1}{7} \).
2. **Premier tirage Jaune (J)** : \( X = -5 \) €, avec probabilité \( P(X = -5) = \frac{2}{7} \).
3. **Premier tirage Vert (V), puis Rouge (R)** : \( X = 8 \) €, avec probabilité \( P(X = 8) = \frac{4}{7} \times \frac{1}{6} = \frac{4}{42} = \frac{2}{21} \).
4. **Premier tirage Vert (V), puis Jaune (J)** : \( X = -4 \) €, avec probabilité \( P(X = -4) = \frac{4}{7} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{21} \).
5. **Premier tirage Vert (V), puis Vert (V)** : \( X = -4 \) €, avec probabilité \( P(X = -4) = \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \).

Regroupons les probabilités pour \( X = -4 \) :

\[
P(X = -4) = \frac{4}{21} + \frac{2}{7} = \frac{4}{21} + \frac{6}{21} = \frac{10}{21}
\]

#### Loi de probabilité complète

- \( P(X = 10) = \frac{1}{7} \)
- \( P(X = -5) = \frac{2}{7} \)
- \( P(X = 8) = \frac{2}{21} \)
- \( P(X = -4) = \frac{10}{21} \)

#### b) Espérance de \( X \)

L'espérance \( E(X) \) se calcule en faisant la somme des produits des gains par leurs probabilités :

\[
E(X) = 10 \times \frac{1}{7} + (-5) \times \frac{2}{7} + 8 \times \frac{2}{21} + (-4) \times \frac{10}{21}
\]

Calculons chaque terme :

\[
E(X) = \frac{10}{7} + \frac{-10}{7} + \frac{16}{21} + \frac{-40}{21}
\]

\[
E(X) = 0 + \frac{16}{21} - \frac{40}{21} = \frac{-24}{21} = -\frac{8}{7}
\]

L'espérance de \( X \) est donc \( E(X) = -\frac{8}{7} \approx -1,14 \).

### Conclusion

L'espérance du gain algébrique du joueur est de -1,14 €, ce qui signifie qu'en moyenne, le joueur perd environ 1,14 € par partie.

---

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ? Voici 5 questions pour approfondir :
1. Comment peut-on généraliser ce raisonnement pour une urne avec plus de couleurs ?
2. Quelle est la probabilité de ne pas perdre d'argent dans ce jeu ?
3. Quelle est la variance de la variable aléatoire \( X \) ?
4. Comment la loi de probabilité change-t-elle si on remplace les boules après chaque tirage ?
5. Comment calculer la probabilité de gagner au moins 8 € ?

**Tip** : L'espérance négative signifie que, sur le long terme, ce jeu n'est pas avantageux pour le joueur.

Une urne contient sept boules : une rouge, deux jaunes et quatre vertes. Un joueur tire au hasard une boule. Si elle est rouge, il gagne 10 €, si elle est jaune, il perd 5 €, si elle est verte, il tire une deuxième boule de l’urne sans avoir replacé la première boule tirée. Si cette deuxième boule est rouge, il gagne 8 €, sinon il perd 4 €. 1. Construire un arbre pondéré représentant l’ensemble des éventualités de ce jeu. 2. Soit X la variable aléatoire associant à chaque tirage le gain algébrique du joueur (une perte est comptée négativement). a) Établir la loi de probabilité de la variable X. b) Calculer l’espérance de X.

This problem involves constructing a probability tree for a random ball game, calculating the probability distribution for the associated random variable X, and finding its expected value. The urn contains red, yellow, and green balls, each resulting in different gains or losses. This detailed solution is suitable for advanced high school students (Grades 11-12) and explores key concepts such as probability, random variables, and expected value.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation