demuestra que existen contables numero algbraicos

Para demostrar que existen números algebraicos contables, comenzaremos definiendo qué es un número algebraico y luego mostraremos que el conjunto de todos los números algebraicos es contable.

### Definición de número algebraico

Un número algebraico es cualquier número que es una solución de un polinomio con coeficientes racionales. Es decir, un número \( \alpha \) es algebraico si existe un polinomio no trivial:

\[
p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0
\]

donde \( a_0, a_1, \dots, a_n \in \mathbb{Q} \), y \( p(\alpha) = 0 \).

### Conjunto de todos los números algebraicos

El conjunto de números algebraicos puede ser expresado como:

\[
\mathbb{A} = \{ \alpha \in \mathbb{C} : \exists p(x) \in \mathbb{Q}[x] \text{ tal que } p(\alpha) = 0 \}
\]

Ahora queremos demostrar que este conjunto \( \mathbb{A} \) es contable.

### Pasos para demostrar que los números algebraicos son contables

1. **Espacio de polinomios con coeficientes racionales**:
   Los polinomios de grado \( n \) con coeficientes en \( \mathbb{Q} \) forman un conjunto infinito, pero contable. Esto se debe a que cada coeficiente de un polinomio puede ser un número racional, y el conjunto de los números racionales \( \mathbb{Q} \) es contable.

   El conjunto de todos los polinomios de grado \( n \) con coeficientes racionales tiene la forma:

   \[
   a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0, \quad a_i \in \mathbb{Q}
   \]

   Como \( \mathbb{Q} \) es contable y cada polinomio tiene un número finito de coeficientes, el conjunto de todos los polinomios de grado \( n \) es contable. El conjunto de todos los polinomios de cualquier grado también será contable como una unión de conjuntos contables (los polinomios de grado \( n = 1, 2, 3, \dots \)).

2. **Número finito de raíces**:
   Un polinomio no trivial de grado \( n \) tiene a lo sumo \( n \) raíces complejas. Por lo tanto, cada polinomio tiene un número finito de soluciones algebraicas.

3. **Unión de conjuntos contables**:
   Si tomamos el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en \( \mathbb{Q} \), cada uno de estos polinomios tiene un número finito de soluciones algebraicas. Entonces, el conjunto de todas las raíces de todos estos polinomios es la unión de conjuntos finitos (las raíces de cada polinomio), pero esta unión sigue siendo contable.

   La unión de un conjunto contable de conjuntos finitos es también un conjunto contable.

### Conclusión

Como hemos demostrado, el conjunto de números algebraicos es una unión de un conjunto contable de raíces de polinomios contables, lo cual implica que es un conjunto contable. Por lo tanto, **el conjunto de números algebraicos es contable**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué diferencias existen entre los números algebraicos y los números trascendentales?
2. ¿Qué implicaciones tiene que el conjunto de números algebraicos sea contable?
3. ¿Cómo se construyen los números trascendentales si los algebraicos son contables?
4. ¿Puedes dar un ejemplo de un número algebraico y su polinomio asociado?
5. ¿Cómo afecta la cardinalidad de los números algebraicos a la teoría de conjuntos?

**Tip**: Recuerda que un conjunto contable es aquel que tiene la misma cardinalidad que los números naturales, es decir, puede ponerse en correspondencia uno a uno con \( \mathbb{N} \).

Explore a step-by-step proof showing that the set of algebraic numbers is countable. This in-depth explanation covers key concepts from algebra and number theory, using polynomial roots, rational coefficients, and the union of countable sets. Ideal for undergraduate mathematics students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation