Dos numeros suman 48 y su razón Geometrica se invierte si se quita 6 al mayor y se añade 6 al menor. ¿cuál es el número  mayor?

Para resolver este problema, podemos definir los dos números como \( x \) (el número mayor) y \( y \) (el número menor). Según el problema, sabemos dos cosas:

1. **La suma de los dos números es 48**:  
   \[
   x + y = 48
   \]

2. **La razón geométrica se invierte si se quita 6 al mayor y se añade 6 al menor**:  
   \[
   \frac{x - 6}{y + 6} = \frac{y}{x}
   \]

### Paso 1: Usar la primera ecuación

De la primera ecuación, podemos despejar \( y \):

\[
y = 48 - x
\]

### Paso 2: Sustituir \( y \) en la segunda ecuación

Sustituyendo \( y = 48 - x \) en la segunda ecuación, tenemos:

\[
\frac{x - 6}{(48 - x) + 6} = \frac{48 - x}{x}
\]

Simplificando:

\[
\frac{x - 6}{54 - x} = \frac{48 - x}{x}
\]

### Paso 3: Resolver la ecuación

Multiplicamos en cruz para eliminar las fracciones:

\[
(x - 6) \cdot x = (48 - x) \cdot (54 - x)
\]

Expandiendo ambos lados:

\[
x^2 - 6x = 48 \cdot 54 - 54x - 48x + x^2
\]

Como \(x^2\) aparece en ambos lados, se cancela:

\[
-6x = 2592 - 102x
\]

Simplificando para despejar \(x\):

\[
96x = 2592
\]

\[
x = \frac{2592}{96} = 27
\]

### Respuesta

El número mayor es \( \mathbf{27} \).

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se resuelven otros problemas que involucran razones geométricas?
2. ¿Qué ocurre si la suma de los números es diferente?
3. ¿Cómo cambia el resultado si la condición de invertir la razón es distinta?
4. ¿Cómo se puede aplicar este tipo de problemas en contextos de la vida real?
5. ¿Qué diferencia hay entre razones geométricas y razones aritméticas?

**Tip:** En problemas que implican inversión de razones, siempre revisa los signos y simplifica las ecuaciones cuidadosamente antes de resolverlas.

Explore a mathematical problem where two numbers sum to 48 and their geometric ratio reverses when 6 is subtracted from the larger and added to the smaller number. Discover the solution with detailed algebraic steps and conditions. Suitable for high school students.

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