¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera?

Pregunta 4Seleccione una:

\vec{u} \parallel \vec{v} \, \Rightarrow \, \exists k \in \mathbb{R} \, , \,  k \, \neq 0 \,  \, \, / \, \vec{u} \cdot \vec{v} \, = \, k 


\vec{u} \parallel \vec{v} \, \Rightarrow \, \exists k \in \mathbb{R} \, , \,  k \, \neq 0 \,  \, / \, \vec{u} \, = \, k \cdot \vec{v}


\vec{u} \parallel \vec{v} \, \Rightarrow \, \vec{u} \cdot \vec{v} \, = \, 0

Vamos a analizar cada una de las expresiones para determinar cuál es la correcta:

1. **\(\vec{u} \parallel \vec{v} \, \Rightarrow \, \exists k \in \mathbb{R} \, , \,  k \, \neq 0 \,  \, \, / \, \vec{u} \cdot \vec{v} \, = \, k \)**

   Esta expresión es incorrecta porque el producto punto (o producto escalar) de dos vectores no necesariamente es un número distinto de cero cuando los vectores son paralelos. En realidad, el producto escalar de vectores paralelos depende de sus magnitudes y del ángulo entre ellos. Si ambos vectores son paralelos pero en direcciones opuestas, el producto punto puede incluso ser negativo, y si uno de los vectores es el vector nulo, el producto escalar será cero.

2. **\(\vec{u} \parallel \vec{v} \, \Rightarrow \, \exists k \in \mathbb{R} \, , \,  k \, \neq 0 \,  \, / \, \vec{u} \, = \, k \cdot \vec{v}\)**

   Esta expresión **es verdadera**. Si dos vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) son paralelos, esto significa que uno es un múltiplo escalar del otro. Es decir, existe un escalar \(k \neq 0\) tal que \(\vec{u} = k \cdot \vec{v}\). Esta es la definición de vectores paralelos en álgebra vectorial.

3. **\(\vec{u} \parallel \vec{v} \, \Rightarrow \, \vec{u} \cdot \vec{v} \, = \, 0\)**

   Esta expresión es incorrecta. El producto punto de dos vectores paralelos no es necesariamente cero. De hecho, si dos vectores son paralelos, su producto escalar puede ser cualquier número real distinto de cero, dependiendo de sus magnitudes y de si están en la misma dirección o en direcciones opuestas. El producto escalar es cero solo cuando los vectores son perpendiculares, no cuando son paralelos.

### Conclusión:
La expresión correcta es la segunda:

\[
\vec{u} \parallel \vec{v} \, \Rightarrow \, \exists k \in \mathbb{R} \, , \,  k \, \neq 0 \,  \, / \, \vec{u} \, = \, k \cdot \vec{v}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

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1. ¿Qué significa que dos vectores sean ortogonales?
2. ¿Cómo se calcula el producto escalar entre dos vectores?
3. ¿Qué propiedades tiene el producto escalar?
4. ¿Cómo se representa el producto vectorial entre dos vectores?
5. ¿Cuáles son las diferencias clave entre el producto escalar y el producto vectorial?

### Tip: 
Para verificar si dos vectores son paralelos, puedes calcular su producto vectorial. Si el resultado es el vector nulo, los vectores son paralelos.

¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera?

1. \(\vec{u} \parallel \vec{v} \, \Rightarrow \, \exists k \in \mathbb{R} \, , \,  k \, \neq 0 \,  \, \, / \, \vec{u} \cdot \vec{v} \, = \, k \)

2. \(\vec{u} \parallel \vec{v} \, \Rightarrow \, \exists k \in \mathbb{R} \, , \,  k \, \neq 0 \,  \, / \, \vec{u} \, = \, k \cdot \vec{v}\)

3. \(\vec{u} \parallel \vec{v} \, \Rightarrow \, \vec{u} \cdot \vec{v} \, = \, 0\)

Explore which expression is true when dealing with parallel vectors. This problem covers key concepts in vector algebra, including the relationship between parallel vectors, scalar multiples, and the dot product. Suitable for students in Grades 10-12.

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