On modélise la trajectoire d’un jet d’eau sortant du centre d’une fontaine circulaire par un arc de parabole.
On note f(x) la hauteur (en mètre) d’une goutte d’eau assimilée à un point en fonction de la distance horizontale x (en mètre) parcourue depuis le centre de la fontaine. On a f(x) = −x2 + 3x + 0,5.
Quelle est la hauteur de la bouche d’où sort le jet d’eau ?

Quelle est la hauteur maximale de ce jet d’eau ?

Quel est, au mètre près, le rayon minimum de la fontaine ?

Pour répondre à ces questions, on part de l'équation donnée de la trajectoire du jet d'eau modélisée par la fonction \( f(x) = -x^2 + 3x + 0,5 \), où \( f(x) \) représente la hauteur en fonction de la distance horizontale \( x \) parcourue.

### 1. **Hauteur de la bouche d'où sort le jet d'eau**
La hauteur de la bouche est donnée par la valeur de \( f(x) \) lorsque \( x = 0 \) (c'est-à-dire, au centre de la fontaine, où le jet commence).

\[ f(0) = -(0)^2 + 3(0) + 0,5 = 0,5 \]

**Réponse** : La hauteur de la bouche d'où sort le jet d'eau est de 0,5 mètre.

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### 2. **Hauteur maximale du jet d'eau**
La fonction \( f(x) = -x^2 + 3x + 0,5 \) est une parabole orientée vers le bas (car le coefficient de \( x^2 \) est négatif). La hauteur maximale du jet d'eau correspond au sommet de cette parabole.

Pour trouver l'abscisse du sommet, on utilise la formule :

\[
x_{\text{sommet}} = \frac{-b}{2a}
\]

Ici, \( a = -1 \), \( b = 3 \), et \( c = 0,5 \), donc :

\[
x_{\text{sommet}} = \frac{-3}{2(-1)} = \frac{3}{2} = 1,5
\]

La hauteur maximale est obtenue en substituant cette valeur de \( x \) dans l'équation de \( f(x) \) :

\[
f(1,5) = -(1,5)^2 + 3(1,5) + 0,5 = -2,25 + 4,5 + 0,5 = 2,75
\]

**Réponse** : La hauteur maximale du jet d'eau est de 2,75 mètres.

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### 3. **Rayon minimum de la fontaine**
Le rayon minimum de la fontaine correspond à la distance horizontale \( x \) à laquelle le jet d'eau touche le sol, c'est-à-dire lorsque \( f(x) = 0 \).

Pour trouver cette distance, on résout l'équation \( f(x) = 0 \) :

\[
-x^2 + 3x + 0,5 = 0
\]

C'est une équation du second degré. Utilisons la formule quadratique pour résoudre :

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

où \( a = -1 \), \( b = 3 \), et \( c = 0,5 \).

Calculons le discriminant :

\[
\Delta = 3^2 - 4(-1)(0,5) = 9 + 2 = 11
\]

\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{11}}{2(-1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{11}}{-2}
\]

Nous obtenons deux solutions :

\[
x_1 = \frac{-3 + \sqrt{11}}{-2} \approx \frac{-3 + 3,317}{-2} = \frac{0,317}{-2} \approx -0,159
\]

\[
x_2 = \frac{-3 - \sqrt{11}}{-2} \approx \frac{-3 - 3,317}{-2} = \frac{-6,317}{-2} \approx 3,159
\]

La solution pertinente est \( x_2 \approx 3,159 \) mètres, car la distance doit être positive.

**Réponse** : Le rayon minimum de la fontaine est de 3 mètres (au mètre près).

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### Résumé des réponses :
1. La hauteur de la bouche d’où sort le jet d’eau est de **0,5 mètre**.
2. La hauteur maximale du jet d’eau est de **2,75 mètres**.
3. Le rayon minimum de la fontaine est de **3 mètres**.

Avez-vous des questions ou voulez-vous plus de détails ?

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Voici 5 questions relatives à ces concepts :
1. Comment la forme de la parabole est-elle influencée par les coefficients de l'équation quadratique ?
2. Pourquoi la parabole a-t-elle un sommet, et comment le calculer sans formule ?
3. Comment interpréter géométriquement le discriminant dans la résolution d'une équation quadratique ?
4. Quels autres phénomènes physiques peuvent être modélisés par des paraboles ?
5. Que se passerait-il si le coefficient de \( x^2 \) était positif dans notre équation ?

**Tip** : Pour les équations quadratiques, la forme du graphe est toujours une parabole, et le signe de \( a \) (le coefficient de \( x^2 \)) indique si elle est tournée vers le haut ou le bas.

On modélise la trajectoire d’un jet d’eau sortant du centre d’une fontaine circulaire par un arc de parabole. On note f(x) la hauteur (en mètre) d’une goutte d’eau assimilée à un point en fonction de la distance horizontale x (en mètre) parcourue depuis le centre de la fontaine. On a f(x) = −x2 + 3x + 0,5. Quelle est la hauteur de la bouche d’où sort le jet d’eau ? Quelle est la hauteur maximale de ce jet d’eau ? Quel est, au mètre près, le rayon minimum de la fontaine ?

Learn how to model the trajectory of a water jet from the center of a circular fountain using the quadratic function f(x) = -x^2 + 3x + 0.5. Discover how to calculate the height of the fountain's mouth, the maximum height of the water jet, and the minimum radius of the fountain. Ideal for students in Grades 9-11.

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