Un Trader de la bolsa de comercio Santiago compró para vender cierta cantidad de acciones de dos tipos diferentes en 120 y 200 dólares cada una respectivamente vendiendo el total de acciones a 520 y 1050 dólares cada una respectivamente. El Trader compró un total de 210 unidades entre ambos tipos de acciones y si hubiese comprado la mitad de acciones del primer tipo y el doble del segundo tipo su utilidad (ganancia) hubiese sido $45.000 dólares ¿cuánto gastó al comprar las acciones del primer tipo al inicio de las transacciones? 

Para resolver este problema, vamos a establecer algunas variables y ecuaciones que describan la situación:

Sea $ x $ el número de acciones del primer tipo compradas por el Trader y $ y $ el número de acciones del segundo tipo compradas por el Trader. Según el problema, sabemos lo siguiente:

1. El total de acciones compradas es 210:
\[ x + y = 210 \]

2. El costo de cada acción del primer tipo es 120 dólares y el del segundo tipo es 200 dólares. Por lo tanto, el costo total de las acciones compradas es:
\[ 120x + 200y \]

3. Las acciones del primer tipo se vendieron a 520 dólares cada una y las del segundo tipo a 1050 dólares cada una. Entonces, el ingreso total por la venta de las acciones es:
\[ 520x + 1050y \]

4. Si hubiese comprado la mitad de acciones del primer tipo ($\frac{x}{2}$) y el doble del segundo tipo (2y), entonces la ganancia hubiese sido 45,000 dólares. El ingreso en este caso sería:
\[ 520\left(\frac{x}{2}\right) + 1050(2y) \]
Y el costo de estas acciones sería:
\[ 120\left(\frac{x}{2}\right) + 200(2y) \]

La ganancia es la diferencia entre el ingreso y el costo:
\[ \left[520\left(\frac{x}{2}\right) + 1050(2y)\right] - \left[120\left(\frac{x}{2}\right) + 200(2y)\right] = 45000 \]

Simplifiquemos esta ecuación:
\[ 260x + 2100y - 60x - 400y = 45000 \]
\[ 200x + 1700y = 45000 \]

Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
1. $ x + y = 210 $
2. $ 200x + 1700y = 45000 $

Resolviendo el sistema:

De la primera ecuación, despejamos $ y $:
\[ y = 210 - x \]

Sustituyendo $ y $ en la segunda ecuación:
\[ 200x + 1700(210 - x) = 45000 \]
\[ 200x + 357000 - 1700x = 45000 \]
\[ 200x - 1700x = 45000 - 357000 \]
\[ -1500x = -312000 \]
\[ x = \frac{312000}{1500} \]
\[ x = 208 \]

Entonces, $ y = 210 - 208 = 2 $.

El Trader compró 208 acciones del primer tipo y 2 acciones del segundo tipo.

Finalmente, el gasto inicial en acciones del primer tipo fue:
\[ 120 \times 208 = 24960 \text{ dólares} \]

**Respuesta:** El Trader gastó $ 24,960 $ dólares al comprar las acciones del primer tipo al inicio de las transacciones.

¿Te gustaría obtener más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí hay algunas preguntas relacionadas que podrías considerar:
1. ¿Cuál fue el ingreso total del Trader por la venta de las acciones?
2. ¿Cuál fue el costo total inicial de todas las acciones?
3. ¿Cuál fue la ganancia total del Trader?
4. ¿Cuántas acciones de cada tipo tendría el Trader si hubiera comprado la mitad del primer tipo y el doble del segundo tipo?
5. ¿Cuál habría sido el ingreso total si hubiera comprado la mitad del primer tipo y el doble del segundo tipo?
6. ¿Cuál habría sido el costo total si hubiera comprado la mitad del primer tipo y el doble del segundo tipo?
7. ¿Qué porcentaje de las acciones compradas eran del primer tipo?
8. ¿Qué porcentaje de las acciones vendidas eran del segundo tipo?

**Tip:** Siempre verifica tus ecuaciones y soluciones paso a paso para asegurarte de que sean consistentes y precisas.

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