El valor ﻿integral integral subíndice s r o t paréntesis izquierdo F paréntesis derecho n por espacio d S espacio﻿﻿para el campo vectorial 

﻿F paréntesis izquierdo x coma y coma z paréntesis derecho igual paréntesis izquierdo 4 x menos 4 z paréntesis derecho i con circunflejo encima más paréntesis izquierdo 15 x al cubo más espacio 15 y z paréntesis derecho j con circunflejo encima menos 16 x y al cuadrado espacio k con circunflejo encima espacio a texto  lo largo de la curva   fin texto z igual 2 menos raíz cuadrada de x al cuadrado más y al cuadrado fin raíz coma z espacio igual 0 coma texto es: fin texto﻿

El problema que planteas involucra el cálculo de un integral de superficie \(\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\), donde el campo vectorial es dado por:

\[
\mathbf{F}(x, y, z) = (4x - 4z)\hat{i} + (15x^3 + 15yz)\hat{j} - 16xy^2\hat{k}
\]

y la curva descrita es \(z = 2 - \sqrt{x^2 + y^2}\) y \(z = 0\), lo que sugiere que la superficie en cuestión puede ser una especie de cúpula o paraboloide truncado por el plano \(z = 0\). A continuación, te proporcionaré una idea de cómo abordar este tipo de problema.

### 1. Superficie de Integración
Dado que \(z = 2 - \sqrt{x^2 + y^2}\) describe una cúpula circular centrada en el eje \(z\) y la condición \(z = 0\) sugiere que estamos integrando sobre una superficie que está limitada en el plano \(z = 0\). Por lo tanto, es razonable pensar que la superficie \(S\) está en una proyección sobre el plano \(xy\).

### 2. Aplicación del Teorema de Stokes
Para simplificar el cálculo, podríamos intentar aplicar el **Teorema de Stokes**, que nos permite relacionar un integral de superficie con un integral de línea a lo largo de la frontera de la superficie. El teorema de Stokes establece que:

\[
\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}
\]

Si puedes describir claramente la curva de frontera \(\partial S\), que parece estar dada por la proyección en el plano \(z = 0\), podríamos transformar el problema en un integral de línea.

### 3. Parametrización de la Curva
Dado que \(z = 2 - \sqrt{x^2 + y^2}\), la frontera puede ser un círculo de radio 2 centrado en el origen, es decir, \(x^2 + y^2 = 4\) en el plano \(z = 0\). Si parametrizamos esta curva con coordenadas polares, usando:

\[
x = 2\cos\theta, \quad y = 2\sin\theta, \quad z = 0
\]

podemos reescribir el campo vectorial en términos de \(\theta\) y calcular el integral de línea correspondiente.

### 4. Evaluación del Integral
Usando la parametrización anterior y aplicando el teorema de Stokes, podemos calcular el integral de línea \(\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\), lo cual simplificará significativamente el cálculo en comparación con evaluar el integral de superficie directamente.

¿Te gustaría que continuemos con el cálculo paso a paso o tienes alguna pregunta específica sobre este enfoque?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Qué es el Teorema de Stokes y cómo se aplica en integrales de superficie?
2. ¿Cómo se parametrizan superficies y curvas en coordenadas polares?
3. ¿Cómo podemos interpretar geométricamente una cúpula paraboloidal?
4. ¿Qué técnicas alternativas existen para evaluar integrales de superficie complejos?
5. ¿Cómo se calcula un integral de línea a lo largo de una curva cerrada?

### Tip:
Para integrales de superficie complejos, el Teorema de Stokes puede ser muy útil si puedes identificar claramente la frontera de la superficie.

El valor integral ∫_S rot(F)·n dS para el campo vectorial F(x, y, z) = (4x - 4z)î + (15x³ + 15yz)ĵ - 16xy²k̂ a lo largo de la curva z = 2 - √(x² + y²), z = 0, es:

Calculate the surface integral of the vector field F(x, y, z) = (4x - 4z)î + (15x³ + 15yz)ĵ - 16xy²k̂ over the surface described by z = 2 - √(x² + y²) and z = 0. Learn how to apply Stokes' theorem and parametrize the surface to simplify the calculation.

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