Considere el campo vectorial F(x,y,z)=(x(elevado2)y(elevado3)-z(elevado4))i(tongo)+4x(elevado5)y(elevado2)z*j(tongo)-y(elevado4)*z(elevado6)*k(tongo)
Entonces la primera componente de su rotacional evaluado en (5,4,13) es:


Para resolver este problema, necesitamos calcular el rotacional (o curl) del campo vectorial \( \mathbf{F}(x,y,z) \), definido como:

\[
\mathbf{F}(x, y, z) = \left( x^2 y^3 - z^4 \right) \hat{i} + \left( 4x^5 y^2 z \right) \hat{j} + \left( -y^4 z^6 \right) \hat{k}
\]

El rotacional de un campo vectorial \( \mathbf{F} = P\hat{i} + Q\hat{j} + R\hat{k} \) está dado por:

\[
\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \hat{i} + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \hat{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \hat{k}
\]

### Paso 1: Definir las componentes del campo vectorial

- \( P(x, y, z) = x^2 y^3 - z^4 \)
- \( Q(x, y, z) = 4x^5 y^2 z \)
- \( R(x, y, z) = -y^4 z^6 \)

### Paso 2: Calcular las derivadas para la componente \( \hat{i} \)

La primera componente del rotacional es:

\[
\left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right)
\]

#### Derivada de \( R \) con respecto a \( y \):

\[
\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( -y^4 z^6 \right) = -4y^3 z^6
\]

#### Derivada de \( Q \) con respecto a \( z \):

\[
\frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( 4x^5 y^2 z \right) = 4x^5 y^2
\]

### Paso 3: Componente \( \hat{i} \) del rotacional

La primera componente del rotacional es:

\[
\left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) = -4y^3 z^6 - 4x^5 y^2
\]

### Paso 4: Evaluar en \( (x, y, z) = (5, 4, 13) \)

Sustituimos \( x = 5 \), \( y = 4 \), y \( z = 13 \):

\[
-4(4)^3(13)^6 - 4(5)^5(4)^2
\]

Ahora calculemos estos valores.

\[
4^3 = 64, \quad 13^6 = 4826809, \quad 5^5 = 3125
\]

Sustituyendo:

\[
-4(64)(4826809) - 4(3125)(16)
\]

Calculamos cada término:

\[
-4(64)(4826809) = -1235790464
\]
\[
-4(3125)(16) = -200000
\]

Sumando ambos resultados:

\[
-1235790464 - 200000 = -1235990464
\]

Por lo tanto, la primera componente del rotacional evaluado en \( (5, 4, 13) \) es \( -1235990464 \).

### ¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué significado físico tiene el rotacional de un campo vectorial?
2. ¿Cómo se aplica el rotacional en la dinámica de fluidos?
3. ¿Qué sucede cuando el rotacional de un campo es cero?
4. ¿Cuál es la relación entre el rotacional y el flujo magnético?
5. ¿Cómo se define el rotacional en coordenadas cilíndricas o esféricas?

**Tip:** Recuerda que el rotacional mide la tendencia de un campo vectorial a inducir una rotación en su entorno.

Considere el campo vectorial F(x,y,z)=(x^2 y^3 - z^4) i + 4x^5 y^2 z j - y^4 z^6 k. Entonces, la primera componente de su rotacional evaluado en (5,4,13) es:

Solve the vector calculus problem by calculating the first component of the curl of the vector field F(x,y,z) = (x^2 y^3 - z^4) i + 4x^5 y^2 z j - y^4 z^6 k, evaluated at (5,4,13). Learn the step-by-step process of computing partial derivatives and applying the curl formula. Suitable for university students studying multivariable calculus.

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