Studia il fascio di rette di equazione (k + 2)x + (2- kly + 3 - k = 0 e determina per quali valori del
parametro k la retta del fascio:
a) passa per l'origine;
b) è parallela alla retta y = 3;
c) è perpendicolare alla retta 2x + 3y-4= 0;
d) è parallela alla retta passante per (-1; 1) e (2; -1)
e) incontra la retta di equazione x - 4y - 1 = 0 nel punto di ordinata 1.

Per studiare il fascio di rette di equazione \((k + 2)x + (2 - k)y + (3 - k) = 0\) e determinare i vari valori di \(k\), analizziamo ciascun caso separatamente.

### a) La retta passa per l'origine

Affinché una retta passi per l'origine, deve soddisfare l'equazione \((0,0)\). Quindi, sostituiamo \(x = 0\) e \(y = 0\) nell'equazione:

\[
(k + 2) \cdot 0 + (2 - k) \cdot 0 + (3 - k) = 0
\]

Da cui:

\[
3 - k = 0 \implies k = 3
\]

### b) La retta è parallela alla retta \(y = 3\)

Per essere parallela alla retta \(y = 3\), la retta deve avere coefficiente di \(y\) uguale a zero (perché \(y = 3\) è una retta orizzontale). Quindi:

\[
2 - k = 0 \implies k = 2
\]

### c) La retta è perpendicolare alla retta \(2x + 3y - 4 = 0\)

Per essere perpendicolare a \(2x + 3y - 4 = 0\), il prodotto dei coefficienti angolari deve essere \(-1\). Il coefficiente angolare della nostra retta è \(\frac{-(k + 2)}{2 - k}\) e per la retta data è \(\frac{-2}{3}\). Quindi:

\[
\frac{-(k + 2)}{2 - k} \cdot \frac{-2}{3} = -1 \implies \frac{(k + 2)}{(2 - k)} \cdot \frac{2}{3} = 1
\]

Risolviamo per \(k\):

\[
\frac{2(k + 2)}{3(2 - k)} = 1 \implies 2(k + 2) = 3(2 - k) \implies 2k + 4 = 6 - 3k \implies 5k = 2 \implies k = \frac{2}{5}
\]

### d) La retta è parallela alla retta passante per \((-1, 1)\) e \((2, -1)\)

Il coefficiente angolare della retta passante per \((-1, 1)\) e \((2, -1)\) è:

\[
m = \frac{-1 - 1}{2 - (-1)} = \frac{-2}{3}
\]

Per essere parallela, il coefficiente angolare della nostra retta deve essere lo stesso. Quindi:

\[
\frac{-(k + 2)}{2 - k} = \frac{-2}{3} \implies \frac{k + 2}{2 - k} = \frac{2}{3}
\]

Risolviamo per \(k\):

\[
3(k + 2) = 2(2 - k) \implies 3k + 6 = 4 - 2k \implies 5k = -2 \implies k = -\frac{2}{5}
\]

### e) La retta incontra la retta \(x - 4y - 1 = 0\) nel punto di ordinata 1

Troviamo l'ascissa \(x\) quando \(y = 1\) nella retta data \(x - 4 \cdot 1 - 1 = 0\):

\[
x - 4 - 1 = 0 \implies x = 5
\]

Ora, sostituiamo \(x = 5\) e \(y = 1\) nella nostra retta:

\[
(k + 2) \cdot 5 + (2 - k) \cdot 1 + (3 - k) = 0 \implies 5k + 10 + 2 - k + 3 - k = 0 \implies 3k + 15 = 0 \implies k = -5
\]

### Riepilogo:

a) Passa per l'origine: \(k = 3\)

b) È parallela alla retta \(y = 3\): \(k = 2\)

c) È perpendicolare alla retta \(2x + 3y - 4 = 0\): \(k = \frac{2}{5}\)

d) È parallela alla retta passante per \((-1, 1)\) e \((2, -1)\): \(k = -\frac{2}{5}\)

e) Incontra la retta \(x - 4y - 1 = 0\) nel punto di ordinata 1: \(k = -5\)

Vuoi maggiori dettagli su uno di questi punti o hai altre domande?  
Ecco alcune domande che potresti voler chiedere:
1. Come si determina il coefficiente angolare di una retta?
2. Qual è il metodo per risolvere sistemi di equazioni lineari?
3. Puoi spiegare come trovare l'equazione di una retta passante per due punti dati?
4. Qual è la formula generale per determinare se due rette sono parallele o perpendicolari?
5. Come si trova il punto di intersezione tra due rette date?

**Tip**: Quando risolvi problemi con parametri, scomponi il problema in passi e verifica ogni passo per errori o omissioni.

Explore the family of lines defined by (k + 2)x + (2 - ky) + 3 - k = 0 and determine values of k satisfying various conditions. This problem involves equations of lines, parallel and perpendicular line conditions, and coordinate geometry concepts. Suitable for high school students.

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