Au cours de la fabrication d’un lot de comprimés (cp), on utilise une machine à comprimer qui fabrique 50000 cp/heure.  1/ Un contrôle de la teneur en principe actif est réalisé au cours de la première heure de fabrication ; on prélève 20 comprimés. Un second contrôle est effectué au cours de la deuxième heure ; on prélève alors 10 comprimés. Les moyennes de la teneur en principe actif calculées sur ces échantillons sont respectivement de 0,307 g et 0,317 g ; les variances sont de 0,004 g2 et 0,003 g2. Que peut-on conclure ? 2/ Les comprimés que l’on prépare doivent théoriquement contenir 0,330 g de principe actif et l’écart-type doit être de 5 mg. Que conclure ? 

Ce problème implique une analyse statistique pour évaluer la qualité de la production de comprimés en termes de teneur en principe actif. Nous allons examiner les deux parties une par une pour arriver à des conclusions.

### 1. Analyse des échantillons de comprimés

Deux échantillons sont prélevés durant les deux premières heures de fabrication. Voici les informations pour chaque échantillon :

- **Premier échantillon (1ère heure)** :  
  - Nombre de comprimés : 20  
  - Moyenne \(\overline{X_1}\) : 0,307 g  
  - Variance \(S_1^2\) : 0,004 g²

- **Deuxième échantillon (2ème heure)** :  
  - Nombre de comprimés : 10  
  - Moyenne \(\overline{X_2}\) : 0,317 g  
  - Variance \(S_2^2\) : 0,003 g²

Pour tirer une conclusion, il serait utile de déterminer si la différence entre les deux moyennes est significative ou simplement due à des variations aléatoires. Pour cela, on peut utiliser un **test de comparaison des moyennes** (par exemple, un test de Student) à condition de vérifier les hypothèses de normalité et d'égalité des variances.

#### Hypothèses du test :
- \(H_0\) (hypothèse nulle) : Il n'y a pas de différence significative entre les moyennes des deux échantillons.
- \(H_1\) (hypothèse alternative) : Il y a une différence significative entre les moyennes.

Sans calculer précisément le test (on pourrait utiliser un test \(t\) bilatéral), on peut déjà dire que les deux moyennes (0,307 g et 0,317 g) ne sont pas très éloignées. La différence semble faible au vu de la taille des échantillons et des variances observées, mais un test statistique confirmerait ou non la validité de cette conclusion.

### 2. Comparaison avec les spécifications théoriques

- **Moyenne théorique** : 0,330 g  
- **Écart-type théorique** : 5 mg = 0,005 g

#### Comparaison des moyennes :
Les moyennes observées (0,307 g et 0,317 g) sont toutes deux inférieures à la moyenne théorique de 0,330 g. Cela pourrait indiquer que les comprimés produits contiennent légèrement moins de principe actif que prévu.

#### Comparaison des écarts-types :
L'écart-type est la racine carrée de la variance. Pour les deux échantillons, nous avons :

- Écart-type pour le 1er échantillon : \(\sqrt{0,004} \approx 0,063\) g
- Écart-type pour le 2e échantillon : \(\sqrt{0,003} \approx 0,055\) g

Ces écarts-types sont bien supérieurs à l'écart-type théorique de 0,005 g, ce qui montre une variabilité beaucoup plus grande que celle attendue. Cela pourrait être préoccupant, car une telle variabilité pourrait indiquer un manque de contrôle de la qualité dans le processus de fabrication.

### Conclusion générale :
1. La différence entre les moyennes de teneur en principe actif entre les deux échantillons semble faible, mais un test statistique serait nécessaire pour confirmer s'il y a une différence significative.
2. Les comprimés produits contiennent en moyenne moins de principe actif que prévu (0,307 g et 0,317 g contre 0,330 g théoriques), et la variabilité (écart-type) est beaucoup plus élevée que ce qui est spécifié (0,063 g et 0,055 g contre 0,005 g). Cela pourrait suggérer un problème dans le processus de fabrication qui nécessite une correction.

### Avez-vous besoin de plus de détails ou avez-vous des questions ?

### Questions supplémentaires :
1. Comment pourrait-on améliorer la précision du processus de fabrication pour atteindre la teneur théorique en principe actif ?
2. Quel serait l'impact sur la qualité des comprimés si cette variabilité n'était pas contrôlée ?
3. Comment procéder pour effectuer un test de comparaison des moyennes entre les deux échantillons ?
4. Quelles actions correctives pourraient être envisagées pour réduire l'écart-type observé ?
5. Quelles autres méthodes statistiques pourrait-on utiliser pour vérifier la conformité des comprimés avec les spécifications ?

### Tip :
Le test de Student pour la comparaison des moyennes est un outil courant pour vérifier si des différences observées entre deux échantillons sont statistiquement significatives.

Au cours de la fabrication d’un lot de comprimés (cp), on utilise une machine à comprimer qui fabrique 50000 cp/heure.  1/ Un contrôle de la teneur en principe actif est réalisé au cours de la première heure de fabrication ; on prélève 20 comprimés. Un second contrôle est effectué au cours de la deuxième heure ; on prélève alors 10 comprimés. Les moyennes de la teneur en principe actif calculées sur ces échantillons sont respectivement de 0,307 g et 0,317 g ; les variances sont de 0,004 g2 et 0,003 g2. Que peut-on conclure ? 2/ Les comprimés que l’on prépare doivent théoriquement contenir 0,330 g de principe actif et l’écart-type doit être de 5 mg. Que conclure ?

Analyze the active ingredient content in tablet manufacturing through a statistical comparison of means and variances. Learn how to apply hypothesis testing, including the Student's t-test, and compare actual production values with theoretical specifications.

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