Au cours de la fabrication d’un lot de comprimés (cp), on utilise une machine à comprimer qui fabrique 50000 cp/heure.  1/ Un contrôle de la teneur en principe actif est réalisé au cours de la première heure de fabrication ; on prélève 20 comprimés. Un second contrôle est effectué au cours de la deuxième heure ; on prélève alors 10 comprimés. Les moyennes de la teneur en principe actif calculées sur ces échantillons sont respectivement de 0,307 g et 0,317 g ; les variances sont de 0,004 g2 et 0,003 g2. Que peut-on conclure ? 2/ Les comprimés que l’on prépare doivent théoriquement contenir 0,330 g de principe actif et l’écart-type doit être de 5 mg. Que conclure ? 

Ce problème traite de la vérification de la teneur en principe actif dans des comprimés fabriqués au cours de deux heures de production. Voici une explication détaillée des conclusions que l'on peut tirer des deux parties.

### 1. Comparaison des deux échantillons : première et deuxième heure de fabrication

**Données :**
- Moyenne de la teneur en principe actif pour les comprimés prélevés à la première heure : \(\bar{x}_1 = 0{,}307 \, \text{g}\)
- Variance de l’échantillon de la première heure : \(\sigma_1^2 = 0{,}004 \, \text{g}^2\)
- Nombre de comprimés prélevés à la première heure : \(n_1 = 20\)
- Moyenne de la teneur en principe actif pour les comprimés prélevés à la deuxième heure : \(\bar{x}_2 = 0{,}317 \, \text{g}\)
- Variance de l’échantillon de la deuxième heure : \(\sigma_2^2 = 0{,}003 \, \text{g}^2\)
- Nombre de comprimés prélevés à la deuxième heure : \(n_2 = 10\)

Pour déterminer si les moyennes des teneurs des deux échantillons sont significativement différentes, il est possible d’utiliser un **test t de Student** pour la comparaison de deux moyennes d’échantillons. Cependant, il faut d'abord vérifier l'hypothèse d'égalité des variances (test de Fisher).

#### Étape 1 : Vérification de l'égalité des variances (test de Fisher)
Le rapport de variance est :
\[
F = \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} = \frac{0{,}004}{0{,}003} = 1{,}33
\]
On peut comparer ce résultat avec la valeur critique de \(F\) pour \(n_1-1 = 19\) et \(n_2-1 = 9\) degrés de liberté (sous un certain seuil de significativité, par exemple \(\alpha = 0,05\)). Si \(F\) est inférieur à cette valeur critique, on peut considérer que les variances sont égales. Ici, le rapport \(F = 1{,}33\) est relativement proche de 1, donc il est probable que les variances ne soient pas significativement différentes. Nous allons donc utiliser un **test t de Student** pour variances égales.

#### Étape 2 : Test t de Student pour variances égales
La statistique de test t est donnée par la formule :
\[
t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{s_p^2 \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}}
\]
où \(s_p^2\) est la variance combinée des deux échantillons, calculée ainsi :
\[
s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)\sigma_1^2 + (n_2 - 1)\sigma_2^2}{n_1 + n_2 - 2}
\]
Calculons \(s_p^2\) :
\[
s_p^2 = \frac{(20 - 1) \cdot 0{,}004 + (10 - 1) \cdot 0{,}003}{20 + 10 - 2} = \frac{19 \cdot 0{,}004 + 9 \cdot 0{,}003}{28} = \frac{0{,}076 + 0{,}027}{28} = \frac{0{,}103}{28} \approx 0{,}00368
\]

Maintenant, nous pouvons calculer la statistique \(t\) :
\[
t = \frac{0{,}307 - 0{,}317}{\sqrt{0{,}00368 \left(\frac{1}{20} + \frac{1}{10}\right)}} = \frac{-0{,}01}{\sqrt{0{,}00368 \cdot 0{,}15}} = \frac{-0{,}01}{\sqrt{0{,}000552}} = \frac{-0{,}01}{0{,}0235} \approx -0{,}426
\]
La statistique t calculée est de \(-0{,}426\). En utilisant une table de distribution t de Student avec \(n_1 + n_2 - 2 = 28\) degrés de liberté, la valeur critique à un seuil de signification de 5% est environ 2,048. Comme la valeur absolue de notre t calculé (\(0,426\)) est inférieure à la valeur critique (2,048), il n'y a pas de différence significative entre les deux échantillons au seuil de 5%.

**Conclusion pour la première question** : On ne peut pas conclure qu’il existe une différence significative entre les teneurs en principe actif des comprimés prélevés à la première et à la deuxième heure de fabrication.

### 2. Comparaison avec la norme théorique

**Données :**
- Teneur théorique en principe actif : \(\mu_0 = 0{,}330 \, \text{g}\)
- Écart-type théorique : \(\sigma_0 = 0{,}005 \, \text{g}\)
- Moyenne observée (comprimés de la première heure) : \(\bar{x}_1 = 0{,}307 \, \text{g}\)
- Moyenne observée (comprimés de la deuxième heure) : \(\bar{x}_2 = 0{,}317 \, \text{g}\)

Pour savoir si les moyennes des échantillons sont conformes à la valeur théorique, nous allons effectuer un **test t de Student unilatéral** pour comparer chacune des moyennes (\(\bar{x}_1\) et \(\bar{x}_2\)) à la valeur théorique \(\mu_0 = 0{,}330 \, \text{g}\).

#### Test pour le premier échantillon (\(\bar{x}_1 = 0{,}307 \, \text{g}\)) :
\[
t_1 = \frac{\bar{x}_1 - \mu_0}{\frac{\sigma_0}{\sqrt{n_1}}} = \frac{0{,}307 - 0{,}330}{\frac{0{,}005}{\sqrt{20}}} = \frac{-0{,}023}{\frac{0{,}005}{4{,}472}} = \frac{-0{,}023}{0{,}00112} \approx -20{,}54
\]
Cette valeur est extrêmement négative, donc la moyenne observée est significativement inférieure à la valeur théorique.

#### Test pour le deuxième échantillon (\(\bar{x}_2 = 0{,}317 \, \text{g}\)) :
\[
t_2 = \frac{\bar{x}_2 - \mu_0}{\frac{\sigma_0}{\sqrt{n_2}}} = \frac{0{,}317 - 0{,}330}{\frac{0{,}005}{\sqrt{10}}} = \frac{-0{,}013}{\frac{0{,}005}{3{,}162}} = \frac{-0{,}013}{0{,}00158} \approx -8{,}23
\]
De même, cette valeur est très inférieure à 0, ce qui indique que la moyenne observée pour le deuxième échantillon est aussi significativement inférieure à la valeur théorique.

**Conclusion pour la deuxième question** : Dans les deux échantillons, la teneur en principe actif est significativement inférieure à la valeur théorique de 0,330 g, et les comprimés fabriqués ne respectent donc pas la spécification attendue.

---

### Questions supplémentaires :
1. Comment le test de Fisher permet-il de comparer les variances de deux échantillons ?
2. Comment le test t de Student est-il utilisé pour vérifier si deux moyennes sont significativement différentes ?
3. Quelle est l'importance de la taille de l'échantillon dans un test de comparaison de moyennes ?
4. Quelles seraient les conséquences de comprimés ayant une teneur en principe actif inférieure à celle attendue ?
5. Comment interpréter les écarts-types observés par rapport aux écarts-types théoriques ?

### Conseil :
Lorsque vous effectuez des tests statistiques, assurez-vous que vos hypothèses sont valides (comme l'égalité des variances ou la normalité des données), car cela affecte la précision des conclusions.

Au cours de la fabrication d’un lot de comprimés (cp), on utilise une machine à comprimer qui fabrique 50000 cp/heure.  1/ Un contrôle de la teneur en principe actif est réalisé au cours de la première heure de fabrication ; on prélève 20 comprimés. Un second contrôle est effectué au cours de la deuxième heure ; on prélève alors 10 comprimés. Les moyennes de la teneur en principe actif calculées sur ces échantillons sont respectivement de 0,307 g et 0,317 g ; les variances sont de 0,004 g2 et 0,003 g2. Que peut-on conclure ? 2/ Les comprimés que l’on prépare doivent théoriquement contenir 0,330 g de principe actif et l’écart-type doit être de 5 mg. Que conclure ?

Analyze tablet production through statistical methods including the t-test and F-test. Explore how to compare variances and means between two production hours with different sample sizes. Includes calculations for variances and significance testing.

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