Sean a, b, c, d números enteros. Considere la función
f(x) = ax + b/
cx + d
.
a) ¿Para qué valores a, b, c y d, f(x) = x?
b) ¿Para qué valores a, b, c y d, f(f(x)) = x?

Dada la función racional \( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \), vamos a resolver las dos partes del problema.

### a) ¿Para qué valores de \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) se cumple que \( f(x) = x \)?

Partimos de la ecuación:

\[
f(x) = x \implies \frac{ax + b}{cx + d} = x
\]

Multiplicamos ambos lados por \( cx + d \) para eliminar el denominador:

\[
ax + b = x(cx + d)
\]

Expandimos el lado derecho:

\[
ax + b = cx^2 + dx
\]

Reordenamos la ecuación:

\[
cx^2 + (d - a)x - b = 0
\]

Para que \( f(x) = x \) se cumpla para todo \( x \), el lado izquierdo de esta ecuación debe ser cero. Esto solo es posible si los coeficientes de \( x^2 \), \( x \) y el término independiente son todos cero. Por lo tanto, tenemos el sistema de ecuaciones:

\[
c = 0, \quad d - a = 0, \quad b = 0
\]

De esto obtenemos:

\[
c = 0, \quad a = d, \quad b = 0
\]

Por lo tanto, los valores de \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) para los cuales \( f(x) = x \) son:

\[
a = d, \quad b = 0, \quad c = 0
\]

Es decir, la función toma la forma \( f(x) = x \) cuando \( f(x) = \frac{ax}{a} = x \).

---

### b) ¿Para qué valores de \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) se cumple que \( f(f(x)) = x \)?

Ahora buscamos los valores para los cuales se cumple \( f(f(x)) = x \). Esto significa que debemos componer la función \( f(x) \) consigo misma y luego igualarla a \( x \).

Primero, calculamos \( f(f(x)) \). Sabemos que \( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \), así que:

\[
f(f(x)) = f\left( \frac{ax + b}{cx + d} \right) = \frac{a\left(\frac{ax + b}{cx + d}\right) + b}{c\left(\frac{ax + b}{cx + d}\right) + d}
\]

Simplifiquemos el numerador y el denominador por separado.

Numerador:

\[
a\left( \frac{ax + b}{cx + d} \right) + b = \frac{a(ax + b) + b(cx + d)}{cx + d} = \frac{a^2x + ab + bcx + bd}{cx + d}
\]

Denominador:

\[
c\left( \frac{ax + b}{cx + d} \right) + d = \frac{c(ax + b) + d(cx + d)}{cx + d} = \frac{acx + bc + dcx + d^2}{cx + d}
\]

Entonces,

\[
f(f(x)) = \frac{a^2x + ab + bcx + bd}{acx + bc + dcx + d^2}
\]

Ahora, igualamos esto a \( x \):

\[
\frac{a^2x + ab + bcx + bd}{acx + bc + dcx + d^2} = x
\]

Multiplicamos ambos lados por \( acx + bc + dcx + d^2 \):

\[
a^2x + ab + bcx + bd = x(acx + bc + dcx + d^2)
\]

Expandimos ambos lados:

\[
a^2x + ab + bcx + bd = acx^2 + bcx + dcx^2 + d^2x
\]

Agrupamos términos:

\[
(a^2 - ac - dc)x^2 + (ab + bc - d^2)x + (bd - ab) = 0
\]

Para que esto sea cierto para todo \( x \), los coeficientes de \( x^2 \), \( x \) y el término independiente deben ser cero. Esto nos lleva a otro sistema de ecuaciones:

1. \( a^2 - ac - dc = 0 \)
2. \( ab + bc - d^2 = 0 \)
3. \( bd - ab = 0 \)

Resolvemos el sistema:

De la ecuación (3), tenemos:

\[
bd = ab \implies b(d - a) = 0
\]

Esto implica que \( b = 0 \) o \( d = a \).

Si \( b = 0 \), la ecuación (2) se simplifica a \( d^2 = 0 \), lo cual implica que \( d = 0 \). Entonces, con \( b = 0 \) y \( d = 0 \), la ecuación (1) se reduce a \( a^2 = ac \), lo que implica que \( a = 0 \) o \( c = a \).

Entonces, las soluciones posibles son:

1. \( a = 0 \), \( b = 0 \), \( c = 0 \), \( d = 0 \), lo que lleva a una función constante \( f(x) = 0 \).
2. \( a = d \), \( b = 0 \), \( c = a \), lo que lleva a la función identidad \( f(x) = x \).

Por lo tanto, los valores de \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) para los cuales \( f(f(x)) = x \) son:

\[
a = d, \quad b = 0, \quad c = a
\]

Esto significa que la función toma la forma \( f(x) = \frac{ax}{ax + d} \), que se simplifica a \( f(x) = x \).

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna duda?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se compone una función racional consigo misma?
2. ¿Cuáles son las condiciones para que una ecuación cuadrática tenga soluciones triviales?
3. ¿Qué propiedades tiene una función identidad?
4. ¿Cómo resolver sistemas de ecuaciones no lineales?
5. ¿Qué sucede si cambiamos los signos de \( a \), \( b \), \( c \) o \( d \) en la función?

### Tip: Al componer funciones racionales, es útil simplificar tanto el numerador como el denominador antes de hacer operaciones más complejas.

Sean a, b, c, d números enteros. Considere la función f(x) = (ax + b)/(cx + d). a) ¿Para qué valores a, b, c y d, f(x) = x? b) ¿Para qué valores a, b, c y d, f(f(x)) = x?

Discover the step-by-step process for solving the rational function f(x) = (ax + b)/(cx + d). Learn how to find the values of a, b, c, and d such that f(x) = x and f(f(x)) = x, including the use of algebraic concepts, function composition, and solving systems of equations. Suitable for advanced high school students in Grades 11-12.

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