Encontrar el intervalo solución que
satisface las cada una de las siguientes
inecuaciones.
a. 𝑥2 – 5𝑥 + 6 < 0
b. 2𝑥2 + 3𝑥 – 2 > 0
c. 𝑥2 – 2𝑥 – 8 > 0


Vamos a resolver cada una de las inecuaciones para encontrar sus intervalos solución.

### a. \( x^2 - 5x + 6 < 0 \)

1. Primero, resolvamos la ecuación cuadrática asociada \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) para encontrar las raíces.
   
   Factorizamos:
   \[
   x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0
   \]
   Las raíces son \( x = 2 \) y \( x = 3 \).

2. Ahora analizamos el signo de la expresión cuadrática en los intervalos determinados por las raíces:
   - Intervalo \( (-\infty, 2) \)
   - Intervalo \( (2, 3) \)
   - Intervalo \( (3, \infty) \)

   Usamos un valor de prueba en cada intervalo para verificar si la expresión es positiva o negativa:
   - En \( (-\infty, 2) \), elegimos \( x = 1 \): \( (1 - 2)(1 - 3) = (-1)(-2) = 2 > 0 \)
   - En \( (2, 3) \), elegimos \( x = 2.5 \): \( (2.5 - 2)(2.5 - 3) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0 \)
   - En \( (3, \infty) \), elegimos \( x = 4 \): \( (4 - 2)(4 - 3) = (2)(1) = 2 > 0 \)

   Por lo tanto, \( x^2 - 5x + 6 < 0 \) en el intervalo **\( (2, 3) \)**.

### b. \( 2x^2 + 3x - 2 > 0 \)

1. Resolvemos la ecuación cuadrática \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \) usando la fórmula general:
   \[
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   \]
   Con \( a = 2 \), \( b = 3 \), y \( c = -2 \):
   \[
   x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}
   \]
   Las soluciones son:
   \[
   x = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2
   \]

2. Analizamos los signos en los intervalos:
   - Intervalo \( (-\infty, -2) \)
   - Intervalo \( (-2, \frac{1}{2}) \)
   - Intervalo \( \left( \frac{1}{2}, \infty \right) \)

   Usamos valores de prueba:
   - En \( (-\infty, -2) \), con \( x = -3 \): \( 2(-3)^2 + 3(-3) - 2 = 18 - 9 - 2 = 7 > 0 \)
   - En \( (-2, \frac{1}{2}) \), con \( x = 0 \): \( 2(0)^2 + 3(0) - 2 = -2 < 0 \)
   - En \( \left( \frac{1}{2}, \infty \right) \), con \( x = 1 \): \( 2(1)^2 + 3(1) - 2 = 2 + 3 - 2 = 3 > 0 \)

   Por lo tanto, \( 2x^2 + 3x - 2 > 0 \) en los intervalos **\( (-\infty, -2) \cup \left( \frac{1}{2}, \infty \right) \)**.

### c. \( x^2 - 2x - 8 > 0 \)

1. Resolvemos la ecuación cuadrática \( x^2 - 2x - 8 = 0 \) factorizando:
   \[
   x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) = 0
   \]
   Las raíces son \( x = 4 \) y \( x = -2 \).

2. Analizamos los signos en los intervalos:
   - Intervalo \( (-\infty, -2) \)
   - Intervalo \( (-2, 4) \)
   - Intervalo \( (4, \infty) \)

   Usamos valores de prueba:
   - En \( (-\infty, -2) \), con \( x = -3 \): \( (-3 - 4)(-3 + 2) = (-7)(-1) = 7 > 0 \)
   - En \( (-2, 4) \), con \( x = 0 \): \( (0 - 4)(0 + 2) = (-4)(2) = -8 < 0 \)
   - En \( (4, \infty) \), con \( x = 5 \): \( (5 - 4)(5 + 2) = (1)(7) = 7 > 0 \)

   Por lo tanto, \( x^2 - 2x - 8 > 0 \) en los intervalos **\( (-\infty, -2) \cup (4, \infty) \)**.

### Resumen de las soluciones:
- **a.** \( (2, 3) \)
- **b.** \( (-\infty, -2) \cup \left( \frac{1}{2}, \infty \right) \)
- **c.** \( (-\infty, -2) \cup (4, \infty) \)

¿Te gustaría que te explique más en detalle algún paso o tienes alguna pregunta?

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Preguntas adicionales:
1. ¿Cómo se resuelven inecuaciones cuadráticas con el método gráfico?
2. ¿Qué ocurre cuando una inecuación no tiene soluciones reales?
3. ¿Cómo afecta el signo del coeficiente principal a la orientación de la parábola?
4. ¿Cuál es la diferencia entre intervalos abiertos y cerrados en la solución de inecuaciones?
5. ¿Cómo se puede usar el método de prueba de signos en inecuaciones con más de dos raíces?

**Tip:** Para inecuaciones cuadráticas, recuerda que las soluciones siempre dependen del signo de la expresión en los diferentes intervalos formados por las raíces.

Encontrar el intervalo solución que satisface las cada una de las siguientes inecuaciones. a. 𝑥2 – 5𝑥 + 6 < 0 b. 2𝑥2 + 3𝑥 – 2 > 0 c. 𝑥2 – 2𝑥 – 8 > 0

Learn how to solve quadratic inequalities with step-by-step solutions for the problems x^2 - 5x + 6 < 0, 2x^2 + 3x - 2 > 0, and x^2 - 2x - 8 > 0. Explore key algebraic concepts like the quadratic formula and interval notation. Suitable for students in Grades 9-10.

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