Resuelve la desigualdades siguientes y expresa el conjunto solucion en notacion de intervalo a) x^2-16x-36>0 b) 2x < x^2-8

Vamos a resolver cada una de las desigualdades y a expresar los conjuntos solución en notación de intervalo.

### a) \( x^2 - 16x - 36 > 0 \)

1. **Resolver la ecuación cuadrática asociada**: Primero resolvemos la ecuación cuadrática \( x^2 - 16x - 36 = 0 \) para encontrar los puntos críticos. Usamos la fórmula general:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Donde \( a = 1 \), \( b = -16 \), y \( c = -36 \). Entonces,

\[
x = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4(1)(-36)}}{2(1)} = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 144}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{400}}{2}
\]

\[
x = \frac{16 \pm 20}{2}
\]

Esto nos da las soluciones \( x_1 = 18 \) y \( x_2 = -2 \).

2. **Determinar el signo de la desigualdad**: Para \( x^2 - 16x - 36 > 0 \), analizamos el signo de la expresión en los intervalos definidos por las raíces:

   - Intervalo \( (-\infty, -2) \): Elegimos \( x = -3 \) y evaluamos:
     \[
     (-3)^2 - 16(-3) - 36 = 9 + 48 - 36 = 21 > 0
     \]
     El signo es positivo.
   
   - Intervalo \( (-2, 18) \): Elegimos \( x = 0 \) y evaluamos:
     \[
     0^2 - 16(0) - 36 = -36 < 0
     \]
     El signo es negativo.
   
   - Intervalo \( (18, \infty) \): Elegimos \( x = 19 \) y evaluamos:
     \[
     19^2 - 16(19) - 36 = 361 - 304 - 36 = 21 > 0
     \]
     El signo es positivo.

3. **Escribir la solución en notación de intervalo**: La desigualdad es positiva en los intervalos \( (-\infty, -2) \) y \( (18, \infty) \). Por lo tanto, la solución es:

\[
\boxed{(-\infty, -2) \cup (18, \infty)}
\]

### b) \( 2x < x^2 - 8 \)

1. **Reorganizar la desigualdad**: Pasamos todos los términos a un solo lado para obtener una expresión cuadrática:

\[
x^2 - 2x - 8 > 0
\]

2. **Resolver la ecuación cuadrática asociada**: Resolvemos la ecuación cuadrática \( x^2 - 2x - 8 = 0 \) usando la fórmula general:

\[
x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}
\]

\[
x = \frac{2 \pm 6}{2}
\]

Esto nos da las soluciones \( x_1 = 4 \) y \( x_2 = -2 \).

3. **Determinar el signo de la desigualdad**: Analizamos el signo de la expresión \( x^2 - 2x - 8 > 0 \) en los intervalos definidos por las raíces:

   - Intervalo \( (-\infty, -2) \): Elegimos \( x = -3 \) y evaluamos:
     \[
     (-3)^2 - 2(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0
     \]
     El signo es positivo.
   
   - Intervalo \( (-2, 4) \): Elegimos \( x = 0 \) y evaluamos:
     \[
     0^2 - 2(0) - 8 = -8 < 0
     \]
     El signo es negativo.
   
   - Intervalo \( (4, \infty) \): Elegimos \( x = 5 \) y evaluamos:
     \[
     5^2 - 2(5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 > 0
     \]
     El signo es positivo.

4. **Escribir la solución en notación de intervalo**: La desigualdad es positiva en los intervalos \( (-\infty, -2) \) y \( (4, \infty) \). Por lo tanto, la solución es:

\[
\boxed{(-\infty, -2) \cup (4, \infty)}
\]

---

¿Te gustaría alguna explicación adicional o tienes preguntas sobre los pasos? Aquí te dejo algunas preguntas relacionadas para que practiques:

1. ¿Cómo determinar el signo de una función cuadrática en un intervalo?
2. ¿Qué significa que una expresión sea positiva en un intervalo?
3. ¿Cómo se interpreta la notación de intervalo para desigualdades?
4. ¿Qué papel juegan las raíces de una ecuación cuadrática en la resolución de desigualdades?
5. ¿Cómo resolverías una desigualdad que involucra fracciones?

**Tip:** Las soluciones de una desigualdad cuadrática suelen dividir la recta numérica en intervalos donde la función es positiva o negativa.

Learn how to solve quadratic inequalities x^2 - 16x - 36 > 0 and 2x < x^2 - 8 step-by-step with detailed solutions. This problem covers quadratic inequalities using the quadratic formula and interval notation. Suitable for high school students.

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